Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 1 из 8
  • 1
  • 2
  • 3
  • 7
  • 8
  • »
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Геометрия типа (sml[ok])
Геометрия типа
KreativshikДата: Вторник, 27.03.2018, 23:00 | Сообщение # 1
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Есть наборы неограниченного количества трёх, четырёх и пятиугольников. Сколько полупростых многогранников разного типа можно собрать используя только эти наборы?
Любые два многогранника отличающиеся количеством трёх, четырёх и пятиугольных граней  входящих в их состав, являются многогранниками разного типа.
Полу простой многогранник - многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра,  а любые две грани которого имеют общее ребро не лежат в одной плоскости.


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал erudite-man - Суббота, 31.03.2018, 13:28
 
никникДата: Среда, 28.03.2018, 02:37 | Сообщение # 2
Гений
Сообщений: 2244
Награды: 320
Совы: 12
*Простой многогранник — выпуклый -мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно  рёбер
(с)W
________________________________________________________________________________________________________
Kreativshik, наверное, не стоит торопиться отвечать на мои вопросы. Скорее всего, найдутся участники, которым задача окажется по зубам без подсказок. Для меня она, в любом случае "не в коня".Но, если вдруг, задача зависнет, и Вы предложите задавать вопросы, то они таки у меня есть:


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.


Сообщение отредактировал никник - Четверг, 29.03.2018, 15:01
 
RaceДата: Среда, 28.03.2018, 09:15 | Сообщение # 3
Гуру
Сообщений: 444
Награды: 35
Совы: 12
На первый взгляд бесконечное кол-во.
 
neboДата: Четверг, 29.03.2018, 12:51 | Сообщение # 4
Высший разум
Сообщений: 3484
Награды: 323
Совы: 115
У меня вопросы:
1. Значит призма  с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником?  И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других  вершинах.
2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа?
3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?
Или это в принципе не имеет значения?

Добавлено (29.03.2018, 12:51)
---------------------------------------------

Цитата никник ()
Имеем ли мы право составить одну грань из нескольких угольников?
Нет не может, ИМХО. Что Вы тогда будете считать вершиной? В этом случае тогда, с одной стороны, точка соприкосновения углов, таких плосколежащих многоугольников, будет для них вершиной, хотя в самом деле - это вовсе не вершина для многогранника. Ну и тогда задача точно не имеет решения.
Пример - кубик Рубика.


Сообщение отредактировал nebo - Четверг, 29.03.2018, 12:33
 
KreativshikДата: Четверг, 29.03.2018, 20:32 | Сообщение # 5
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Цитата никник ()
Нельзя ли для профанов пояснить как-то попроще хотя бы, что такое мерность многогранника?


2 мерный многогранник это например треугольник в трехмерном пространстве ему соответствует тетраэдр, в четырёхмерном пятиячеечник в пятимерном симплекс и т.д. В нашей задаче мы рассматриваем только трехмерное  евклидово пространство, о чем говорит формулировка условий.
Цитата никник ()
А, если вдруг, это настолько просто и очевидно, что не является большой подсказкой, пояснить что мешает собрать бесконечное кол-во многогранников из одних только, например, треугольников?


Получится либо многогранник не являющийся простым,  либо это простой многогранник с конечным числом граней, т.к некоторые треугольники будут лежать в одной плоскости, а определение выпуклого многогранника Вы сами дали:

Цитата никник ()
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Цитата никник ()
Каждый тип n-угольников одинаковый по размерам?

К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий.

Цитата nebo ()
1. Значит призма  с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником?  И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других  вершинах.


Простой многогранник, это выпуклый многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра.

Цитата nebo ()
2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа?


К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий.  n, m,k  положительные целые
Цитата никник ()
(Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.)
Теорема верна не для всех многогранников, но для всех простых однозначно верна
Цитата nebo ()
3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?Или это в принципе не имеет значения?


Хе, хороший вопрос.
Нет, принципиального значения это не имеет.

Добавлено (29.03.2018, 20:32)
---------------------------------------------

Цитата Race ()
На первый взгляд бесконечное кол-во.
Нет это не верно.


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал Kreativshik - Четверг, 29.03.2018, 20:31
 
neboДата: Четверг, 29.03.2018, 22:14 | Сообщение # 6
Высший разум
Сообщений: 3484
Награды: 323
Совы: 115
Если воспользоваться формулой Эйлера, что нам может это дать?
 
KreativshikДата: Четверг, 29.03.2018, 22:25 | Сообщение # 7
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Т.к. у нас здесь есть любитель геометрии, то предлогаю типы многогранников обозвать Race типами, или просто R-типами.
 В общем виде, любой простой  многогранник имеет определённый R-тип : ,  где an  - количество  n-угольных граней в многограннике.  Всего существует счётное множество R-типов, даже при n=6 их  бесконечно много, но вот при n=5 их ограниенное количество.  Сколько их точно я и предлагаю узнать.
Тетраэдр например имеет R-тип (4,0,0). После решения задачи можем придумать имена тем многогранникам у которых их ещё нет, благо их не столь много

Добавлено (29.03.2018, 22:25)
---------------------------------------------

Цитата nebo ()
Если воспользоваться формулой Эйлера, что нам может это дать?
Это может дать полное решение задачи.
Прикрепления: 1403333.gif(0.6 Kb)


Жёлтый Зелёный Красный
 
neboДата: Пятница, 30.03.2018, 12:48 | Сообщение # 8
Высший разум
Сообщений: 3484
Награды: 323
Совы: 115
В соответствии с заданными условиями и, исходя из формулы Эйлера, получим следующую связь многоугольников в искомых многогранниках:
(3n+4m+5k)/3+(n+m+k)-(3n+4m+5k)/2=2 или 3n+2m+k=12.
Из этой формулы хорошо видны знакомые нам - тетраэдр R(4,0,0); куб R(0,6,0) и додекаэдр R(0,0,12).
Но поскольку
Цитата Kreativshik ()
К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые
то надо, видимо, найти все значения n, m, k, удовлетворяющие 3n+2m+k=12.
Путём нехитрых вычислений получается:
R(1,4,1)
R(1,3,3)
R(1,2,5)
R(1,1,7)
R(2,2,2)
R(2,1,4)
R(3,1,1), т.е.  всего 7 многогранников, удовлетворяющих всем условиям, но в физическом смысле весьма похожих на сферических коней в вакууме)))


Сообщение отредактировал nebo - Пятница, 30.03.2018, 15:44
 
никникДата: Пятница, 30.03.2018, 18:14 | Сообщение # 9
Гений
Сообщений: 2244
Награды: 320
Совы: 12
nebo,   bravo 
Я, правда, не совсем понял почему нельзя отказываться от одного-двух из типов угольников (брать аn =0), хотя такие сочетания, тот же куб приводятся в качестве классических примеров.

Добавлено (30.03.2018, 18:14)
---------------------------------------------



Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
neboДата: Пятница, 30.03.2018, 18:29 | Сообщение # 10
Высший разум
Сообщений: 3484
Награды: 323
Совы: 115
никник, у Вас здесь 3n+2m+k=12+u7+2u8..справа семиугольники и восьмиугольники?

Добавлено (30.03.2018, 18:29)
---------------------------------------------
Да, я уже это посчитала.
Получается, что для многогранников из семиугольников или восьмиугольников, обязательно нужны или треугольники, или четырёхугольники, или пятиугольники, или комбинации из них.

 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Геометрия типа (sml[ok])
  • Страница 1 из 8
  • 1
  • 2
  • 3
  • 7
  • 8
  • »
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Простой парадокс18
2.Непонятки теории множеств0
3.Пуля дура0
4.Необычная копилка14
5.Антифразы54
6.Занимательная математика200
7.Мужики и лошадь1
8.Достаточность основания11
9.Театр одного зрителя3
10.Сигнал для управления4
1.Rostislav4810
2.Lexx4728
3.nebo3484
4.Иван3061
5.Kreativshik2472
6.никник2244
7.Гретхен1802
8.erudite-man1317
9.Valet937
10.Vita890
1.nebo115
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.IQFun30
5.Pro100_Artyom27
6.MrCredo26
7.marutand20
8.хан20
9.slltllnll12
10.никник12


ГлавнаяГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовХостинг от uCoz