Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 1 из 8
  • 1
  • 2
  • 3
  • 7
  • 8
  • »
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Геометрия типа (sml[ok])
Геометрия типа
KreativshikДата: Вторник, 27.03.2018, 23:00 | Сообщение # 1
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Есть наборы неограниченного количества трёх, четырёх и пятиугольников. Сколько полупростых многогранников разного типа можно собрать используя только эти наборы?
Любые два многогранника отличающиеся количеством трёх, четырёх и пятиугольных граней  входящих в их состав, являются многогранниками разного типа.
Полу простой многогранник - многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра,  а любые две грани которого имеют общее ребро не лежат в одной плоскости.


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал erudite-man - Суббота, 31.03.2018, 13:28
 
никникДата: Среда, 28.03.2018, 02:37 | Сообщение # 2
Гений
Сообщений: 2288
Награды: 328
Совы: 12
*Простой многогранник — выпуклый -мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно  рёбер
(с)W
________________________________________________________________________________________________________
Kreativshik, наверное, не стоит торопиться отвечать на мои вопросы. Скорее всего, найдутся участники, которым задача окажется по зубам без подсказок. Для меня она, в любом случае "не в коня".Но, если вдруг, задача зависнет, и Вы предложите задавать вопросы, то они таки у меня есть:


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.


Сообщение отредактировал никник - Четверг, 29.03.2018, 15:01
 
RaceДата: Среда, 28.03.2018, 09:15 | Сообщение # 3
Гуру
Сообщений: 445
Награды: 37
Совы: 12
На первый взгляд бесконечное кол-во.
 
neboДата: Четверг, 29.03.2018, 12:51 | Сообщение # 4
Высший разум
Сообщений: 3500
Награды: 327
Совы: 116
У меня вопросы:
1. Значит призма  с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником?  И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других  вершинах.
2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа?
3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?
Или это в принципе не имеет значения?

Добавлено (29.03.2018, 12:51)
---------------------------------------------

Цитата никник ()
Имеем ли мы право составить одну грань из нескольких угольников?
Нет не может, ИМХО. Что Вы тогда будете считать вершиной? В этом случае тогда, с одной стороны, точка соприкосновения углов, таких плосколежащих многоугольников, будет для них вершиной, хотя в самом деле - это вовсе не вершина для многогранника. Ну и тогда задача точно не имеет решения.
Пример - кубик Рубика.


Сообщение отредактировал nebo - Четверг, 29.03.2018, 12:33
 
KreativshikДата: Четверг, 29.03.2018, 20:32 | Сообщение # 5
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Цитата никник ()
Нельзя ли для профанов пояснить как-то попроще хотя бы, что такое мерность многогранника?


2 мерный многогранник это например треугольник в трехмерном пространстве ему соответствует тетраэдр, в четырёхмерном пятиячеечник в пятимерном симплекс и т.д. В нашей задаче мы рассматриваем только трехмерное  евклидово пространство, о чем говорит формулировка условий.
Цитата никник ()
А, если вдруг, это настолько просто и очевидно, что не является большой подсказкой, пояснить что мешает собрать бесконечное кол-во многогранников из одних только, например, треугольников?


Получится либо многогранник не являющийся простым,  либо это простой многогранник с конечным числом граней, т.к некоторые треугольники будут лежать в одной плоскости, а определение выпуклого многогранника Вы сами дали:

Цитата никник ()
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Цитата никник ()
Каждый тип n-угольников одинаковый по размерам?

К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий.

Цитата nebo ()
1. Значит призма  с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником?  И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других  вершинах.


Простой многогранник, это выпуклый многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра.

Цитата nebo ()
2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа?


К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий.  n, m,k  положительные целые
Цитата никник ()
(Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.)
Теорема верна не для всех многогранников, но для всех простых однозначно верна
Цитата nebo ()
3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?Или это в принципе не имеет значения?


Хе, хороший вопрос.
Нет, принципиального значения это не имеет.

Добавлено (29.03.2018, 20:32)
---------------------------------------------

Цитата Race ()
На первый взгляд бесконечное кол-во.
Нет это не верно.


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал Kreativshik - Четверг, 29.03.2018, 20:31
 
neboДата: Четверг, 29.03.2018, 22:14 | Сообщение # 6
Высший разум
Сообщений: 3500
Награды: 327
Совы: 116
Если воспользоваться формулой Эйлера, что нам может это дать?
 
KreativshikДата: Четверг, 29.03.2018, 22:25 | Сообщение # 7
Гений
Сообщений: 2472
Награды: 258
Совы: 113
Т.к. у нас здесь есть любитель геометрии, то предлогаю типы многогранников обозвать Race типами, или просто R-типами.
 В общем виде, любой простой  многогранник имеет определённый R-тип : ,  где an  - количество  n-угольных граней в многограннике.  Всего существует счётное множество R-типов, даже при n=6 их  бесконечно много, но вот при n=5 их ограниенное количество.  Сколько их точно я и предлагаю узнать.
Тетраэдр например имеет R-тип (4,0,0). После решения задачи можем придумать имена тем многогранникам у которых их ещё нет, благо их не столь много

Добавлено (29.03.2018, 22:25)
---------------------------------------------

Цитата nebo ()
Если воспользоваться формулой Эйлера, что нам может это дать?
Это может дать полное решение задачи.
Прикрепления: 1403333.gif(0.6 Kb)


Жёлтый Зелёный Красный
 
neboДата: Пятница, 30.03.2018, 12:48 | Сообщение # 8
Высший разум
Сообщений: 3500
Награды: 327
Совы: 116
В соответствии с заданными условиями и, исходя из формулы Эйлера, получим следующую связь многоугольников в искомых многогранниках:
(3n+4m+5k)/3+(n+m+k)-(3n+4m+5k)/2=2 или 3n+2m+k=12.
Из этой формулы хорошо видны знакомые нам - тетраэдр R(4,0,0); куб R(0,6,0) и додекаэдр R(0,0,12).
Но поскольку
Цитата Kreativshik ()
К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые
то надо, видимо, найти все значения n, m, k, удовлетворяющие 3n+2m+k=12.
Путём нехитрых вычислений получается:
R(1,4,1)
R(1,3,3)
R(1,2,5)
R(1,1,7)
R(2,2,2)
R(2,1,4)
R(3,1,1), т.е.  всего 7 многогранников, удовлетворяющих всем условиям, но в физическом смысле весьма похожих на сферических коней в вакууме)))


Сообщение отредактировал nebo - Пятница, 30.03.2018, 15:44
 
никникДата: Пятница, 30.03.2018, 18:14 | Сообщение # 9
Гений
Сообщений: 2288
Награды: 328
Совы: 12
nebo,   bravo 
Я, правда, не совсем понял почему нельзя отказываться от одного-двух из типов угольников (брать аn =0), хотя такие сочетания, тот же куб приводятся в качестве классических примеров.

Добавлено (30.03.2018, 18:14)
---------------------------------------------



Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
neboДата: Пятница, 30.03.2018, 18:29 | Сообщение # 10
Высший разум
Сообщений: 3500
Награды: 327
Совы: 116
никник, у Вас здесь 3n+2m+k=12+u7+2u8..справа семиугольники и восьмиугольники?

Добавлено (30.03.2018, 18:29)
---------------------------------------------
Да, я уже это посчитала.
Получается, что для многогранников из семиугольников или восьмиугольников, обязательно нужны или треугольники, или четырёхугольники, или пятиугольники, или комбинации из них.

 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Геометрия типа (sml[ok])
  • Страница 1 из 8
  • 1
  • 2
  • 3
  • 7
  • 8
  • »
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Быстрая река.2
2.Чёрная дыра.33
3.Чемпионка мира не сумела ...0
4.Проверка Вашей эрудиции.16
5.Загадка про три дома1
6.Продолжение загадки Форда4
7.Занимательная математика201
8.Принцесса и тигры23
9.помогите решить задачу по...1
10.Шахматный марафон47
1.Rostislav5078
2.Lexx4728
3.nebo3500
4.Иван3061
5.Kreativshik2472
6.никник2288
7.Гретхен1807
8.erudite-man1340
9.Vita1011
10.Valet937
1.nebo116
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.IQFun30
5.Pro100_Artyom27
6.MrCredo26
7.marutand20
8.хан20
9.slltllnll12
10.никник12


ГлавнаяГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовХостинг от uCoz