Есть наборы неограниченного количества трёх, четырёх и пятиугольников. Сколько полупростых многогранников разного типа можно собрать используя только эти наборы? Любые два многогранника отличающиеся количеством трёх, четырёх и пятиугольных граней входящих в их состав, являются многогранниками разного типа. Полу простой многогранник - многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра, а любые две грани которого имеют общее ребро не лежат в одной плоскости.
Сообщение отредактировал erudite-man - Сб, 31.03.18, 13:28
*Простой многогранник — выпуклый-мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно рёбер
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. (Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.) Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности; такое обобщение обычно называется n-мерным многогранником
(с)W ________________________________________________________________________________________________________ Kreativshik, наверное, не стоит торопиться отвечать на мои вопросы. Скорее всего, найдутся участники, которым задача окажется по зубам без подсказок. Для меня она, в любом случае "не в коня".Но, если вдруг, задача зависнет, и Вы предложите задавать вопросы, то они таки у меня есть:
Нельзя ли для профанов пояснить как-то попроще хотя бы, что такое мерность многогранника? А, если вдруг, это настолько просто и очевидно, что не является большой подсказкой, пояснить что мешает собрать бесконечное кол-во многогранников из одних только, например, треугольников? я догадываюсь так, что при этом выпуклый многогранник не получится простым, т.е. скорее всего условие по ребрам, но так ли это?? Каждый тип n-угольников одинаковый по размерам? Имеем ли мы право составить одну грань из нескольких угольников?
Сообщение отредактировал никник - Чт, 29.03.18, 15:01
У меня вопросы: 1. Значит призма с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником? И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других вершинах. 2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа? 3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны? Или это в принципе не имеет значения?
Имеем ли мы право составить одну грань из нескольких угольников?
Нет не может, ИМХО. Что Вы тогда будете считать вершиной? В этом случае тогда, с одной стороны, точка соприкосновения углов, таких плосколежащих многоугольников, будет для них вершиной, хотя в самом деле - это вовсе не вершина для многогранника. Ну и тогда задача точно не имеет решения. Пример - кубик Рубика.
Сообщение отредактировал nebo - Чт, 29.03.18, 12:33
Нельзя ли для профанов пояснить как-то попроще хотя бы, что такое мерность многогранника?
2 мерный многогранник это например треугольник в трехмерном пространстве ему соответствует тетраэдр, в четырёхмерном пятиячеечник в пятимерном симплекс и т.д. В нашей задаче мы рассматриваем только трехмерное евклидово пространство, о чем говорит формулировка условий.
Цитатаникник ()
А, если вдруг, это настолько просто и очевидно, что не является большой подсказкой, пояснить что мешает собрать бесконечное кол-во многогранников из одних только, например, треугольников?
Получится либо многогранник не являющийся простым, либо это простой многогранник с конечным числом граней, т.к некоторые треугольники будут лежать в одной плоскости, а определение выпуклого многогранника Вы сами дали:
Цитатаникник ()
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Цитатаникник ()
Каждый тип n-угольников одинаковый по размерам?
К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий.
Цитатаnebo ()
1. Значит призма с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником? И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других вершинах.
Простой многогранник, это выпуклый многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра.
Цитатаnebo ()
2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа?
К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые
Цитатаникник ()
(Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.)
Теорема верна не для всех многогранников, но для всех простых однозначно верна
Цитатаnebo ()
3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?Или это в принципе не имеет значения?
Хе, хороший вопрос. Нет, принципиального значения это не имеет.
Т.к. у нас здесь есть любитель геометрии, то предлогаю типы многогранников обозвать Race типами, или просто R-типами. В общем виде, любой простой многогранник имеет определённый R-тип : , где an - количество n-угольных граней в многограннике. Всего существует счётное множество R-типов, даже при n=6 их бесконечно много, но вот при n=5 их ограниенное количество. Сколько их точно я и предлагаю узнать. Тетраэдр например имеет R-тип (4,0,0). После решения задачи можем придумать имена тем многогранникам у которых их ещё нет, благо их не столь много
В соответствии с заданными условиями и, исходя из формулы Эйлера, получим следующую связь многоугольников в искомых многогранниках: (3n+4m+5k)/3+(n+m+k)-(3n+4m+5k)/2=2 или 3n+2m+k=12. Из этой формулы хорошо видны знакомые нам - тетраэдр R(4,0,0); куб R(0,6,0) и додекаэдр R(0,0,12). Но поскольку
ЦитатаKreativshik ()
К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые
то надо, видимо, найти все значения n, m, k, удовлетворяющие 3n+2m+k=12. Путём нехитрых вычислений получается: R(1,4,1) R(1,3,3) R(1,2,5) R(1,1,7) R(2,2,2) R(2,1,4) R(3,1,1), т.е. всего 7 многогранников, удовлетворяющих всем условиям, но в физическом смысле весьма похожих на сферических коней в вакууме)))
Сообщение отредактировал nebo - Пт, 30.03.18, 15:44
nebo, Я, правда, не совсем понял почему нельзя отказываться от одного-двух из типов угольников (брать аn =0), хотя такие сочетания, тот же куб приводятся в качестве классических примеров.
п.с. любопытно получается, шестиугольники в формуле сокращаются, получается шестиугольников можно добавлять сколько угодно,не меняя кол-во других типов граней, а фигуры с большим кол-вом углов остаются. правда их количество, уже в прямой, а не обратной зависимости с 3,4,5-угольными гранями. 3n+2m+k=12+u7+2u8...И получается, что многогранников, соответствующих ф. Эйлера, без 3,4,5 угольников вообще сложить нельзя (за исключ. сост-го ! из шестиуг-в (?) ).
никник, у Вас здесь 3n+2m+k=12+u7+2u8..справа семиугольники и восьмиугольники?
Добавлено (30.03.2018, 18:29) --------------------------------------------- Да, я уже это посчитала. Получается, что для многогранников из семиугольников или восьмиугольников, обязательно нужны или треугольники, или четырёхугольники, или пятиугольники, или комбинации из них.
-мерный 
, где 
