Новые сообщения на форуме
Форум Эрудитов >
Логические задачи и головоломки >
Математические задачи >
Решенные задачи >
Геометрия типа
| Форум Эрудитов Решенные задачи Геометрия типа |
| Геометрия типа |
Есть наборы неограниченного количества трёх, четырёх и пятиугольников. Сколько полупростых многогранников разного типа можно собрать используя только эти наборы?
Любые два многогранника отличающиеся количеством трёх, четырёх и пятиугольных граней входящих в их состав, являются многогранниками разного типа. Полу простой многогранник - многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра, а любые две грани которого имеют общее ребро не лежат в одной плоскости. |
*Простой многогранник — выпуклый
 -мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно рёбер(с)W ________________________________________________________________________________________________________ Kreativshik, наверное, не стоит торопиться отвечать на мои вопросы. Скорее всего, найдутся участники, которым задача окажется по зубам без подсказок. Для меня она, в любом случае "не в коня".Но, если вдруг, задача зависнет, и Вы предложите задавать вопросы, то они таки у меня есть: |
У меня вопросы:
1. Значит призма с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником? И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других вершинах. 2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа? 3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны? Или это в принципе не имеет значения? Добавлено (29.03.2018, 12:51) Цитата никник (  ) Имеем ли мы право составить одну грань из нескольких угольников? Пример - кубик Рубика. |
Цитата никник ( ) Нельзя ли для профанов пояснить как-то попроще хотя бы, что такое мерность многогранника? 2 мерный многогранник это например треугольник в трехмерном пространстве ему соответствует тетраэдр, в четырёхмерном пятиячеечник в пятимерном симплекс и т.д. В нашей задаче мы рассматриваем только трехмерное евклидово пространство, о чем говорит формулировка условий. Цитата никник ( ) А, если вдруг, это настолько просто и очевидно, что не является большой подсказкой, пояснить что мешает собрать бесконечное кол-во многогранников из одних только, например, треугольников? Получится либо многогранник не являющийся простым, либо это простой многогранник с конечным числом граней, т.к некоторые треугольники будут лежать в одной плоскости, а определение выпуклого многогранника Вы сами дали: Цитата никник ( ) Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Цитата никник ( ) Каждый тип n-угольников одинаковый по размерам? К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. Цитата nebo ( ) 1. Значит призма с основанием 4х-угольник, 5ти-угольник и далее не будет простым многогранником? И все многогранники, имеющие т.с. купол из треугольников не будут простыми? Ведь в вершине такого купола сходится бOльшее число рёбер, чем в других вершинах. Простой многогранник, это выпуклый многогранник в каждой вершине которого сходится три ребра. Цитата nebo ( ) 2. Обязательно ли использовать из набора все типы многоугольников, или можно, и один тип, и только два типа? К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые Цитата никник ( ) (Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.) Цитата nebo ( ) 3. И насчёт равенства сторон. Должны ли быть у всех многоугольников равные стороны?Или это в принципе не имеет значения? Хе, хороший вопрос. Нет, принципиального значения это не имеет. Добавлено (29.03.2018, 20:32) Цитата Race ( ) На первый взгляд бесконечное кол-во. |
Т.к. у нас здесь есть любитель геометрии, то предлогаю типы многогранников обозвать Race типами, или просто R-типами.
В общем виде, любой простой многогранник имеет определённый R-тип :  , где an - количество n-угольных граней в многограннике. Всего существует счётное множество R-типов, даже при n=6 их бесконечно много, но вот при n=5 их ограниенное количество. Сколько их точно я и предлагаю узнать.Тетраэдр например имеет R-тип (4,0,0). После решения задачи можем придумать имена тем многогранникам у которых их ещё нет, благо их не столь много Добавлено (29.03.2018, 22:25) Цитата nebo ( ) Если воспользоваться формулой Эйлера, что нам может это дать? |
В соответствии с заданными условиями и, исходя из формулы Эйлера, получим следующую связь многоугольников в искомых многогранниках:
(3n+4m+5k)/3+(n+m+k)-(3n+4m+5k)/2=2 или 3n+2m+k=12. Из этой формулы хорошо видны знакомые нам - тетраэдр R(4,0,0); куб R(0,6,0) и додекаэдр R(0,0,12). Но поскольку Цитата Kreativshik ( ) К определенному типу многогранников относится простой многогранник состоящий из n треугольников, m четырёхугольников и k пятиугольников, независимо от размера многогранника и его группы симметрий. n, m,k положительные целые Путём нехитрых вычислений получается: R(1,4,1) R(1,3,3) R(1,2,5) R(1,1,7) R(2,2,2) R(2,1,4) R(3,1,1), т.е. всего 7 многогранников, удовлетворяющих всем условиям, но в физическом смысле весьма похожих на сферических коней в вакууме))) |
nebo,
 Я, правда, не совсем понял почему нельзя отказываться от одного-двух из типов угольников (брать аn =0), хотя такие сочетания, тот же куб приводятся в качестве классических примеров. Добавлено (30.03.2018, 18:14) |
никник, у Вас здесь 3n+2m+k=12+u7+2u8..справа семиугольники и восьмиугольники?
Добавлено (30.03.2018, 18:29) |
