Вы даже можете не рисовать, опишите на манер 22 сообщения, я Сам нарисую. Попрошу заметить, я ни сейчас не ранее не отвергал теоретическую возможность Вашей правоты. Даже с деньгами заранее простился)
Но это все лирика, так я дня 3 горел этой задачей, все возможные (на мой взгляд) варианты сечения тетраэдра выполнил. К примеру получил R(0;2;8) именно сечением тетраэдра. Но вот других многогранников из списка nebo не получил.
Возможно я резал не правильно. Возможно не вижу очевидных вариантов. Что и делает нахождение Вами многогранника более чем интересным лично для меня. К сожалению, как я уже упоминал проблемы с 3Д воображением есть, именно потому я строил многогранники последовательным сечением других простых многогранников в 3хмерном пространстве, а не представлял с нуля.
Аналогично R(1;4;1) не существует. Так как 1 треугольник и 4 четырехугольника касаются своими ребрами 5ти угольника. Полученная конструкция никоим образом не замыкается. Доказывается обыкновенным перебором. Конструкция разомкнута.Из выкройки видно, что ни одна четырех угольная грань, несможет накрыть 2 дальние вершины и при этом коснуться соседних. В итоге фигуру конечно можно построить, только состоять она будет R(1;5;1)=14, а значит не будет полу простой.
Перебор тут и правда элементарный. Что бы выполнялись условия построения то вершины четырехугольников и треугольника должны сходится в точках А, Б, С, Д. Если предположить что A' совпадет скажем с В, то значит что точка А'' принадлежит прямой А'B, что вырождает один из четырехугольников в треугольник. Перебираем аналогично все остальные свободные вершины треугольника и четырехугольников, убеждаемся что другие варианты соединения невозможны. Другое присоединения граней к пятиугольнику не возможно, так как их всего 6. Собственно вот цепочка моих рассуждений касательно перебора. Вдобавок к этому я выполнил (на мой взгляд) все возможные варианты сечения тетраэдра двумя плоскостями.
Проволки в хозяйственных нет. А то, что у меня получилось на картинке я что -то и сам оценить не могу. Самое сложное оценить да и нарисовать наклон ромбов. Я, наверно, завтра еще гляну и ваши доводы и свои. Но, в принципе, готов признать поражение.
Покрутил я со всех сторон R(1;4;1) и пришел к выводу, что комбинаций расположения треугольника там не просто мало, а единственная... Обычный обрезанный трехгранный угол... Все другие комбинации дают четыре ребра в вершине... Шансы построения многогранника еще уменьшились....
О чем спор ? Теорема Эйлера утверждает, что для любого трехмерного многогранника справедливо равенство , где χ- эйлерова характеристика поверхности многогранника, в частности для поверхности топологически эквивалентной сфере χ=2. - количество n-мерных многогранников. Для любого многогранника можно определить вектор  Теорема Штайница относительно нашей задачи, утверждает что целочисленный вектор является вектором полупростого многогранника, если выполняются все следующие условия Все полупростые многогранники определяются 9 векторами. Например вектор (1,6,9,5,1) определяет R(3,1,1) и R(2,3,0). Данный вектор полностью удовлетворяет всем условиям, так же как и вектор (1,8,12,6,1) который определяет 4 типа, среди которых и (1,4,1)
Kreativshik, никто с этим не спорит, загвоздка именно в графическом отображении многогранника. Либо в определении ребер и граней его же. Если каждое ребро прямая, а грань плоскость, то каким образом может существовать выпуклый многогранник R(3;1;1) если у него всего 5 граней, а к пятиугольной грани должны касаться 5 других граней, такое теоретически возможно но только в случае если какая то одна, либо несколько граней трех и четырехугольных будут соединены с пятиугольной 2мя ребрами. Что для случая с плоскими гранями и прямыми ребрами переводит задачу в разряд абстракции.
Я знаю, как расположить плоскости в (3,1,1). Ох же и замучил он меня! Здесь должно быть 6 вершин и, кажется как же тогда быть! Ведь пятиугольник даёт 5 вершин, остаётся одна, а как же 4х-угольник? Я вижу только один выход. Поскольку эти многогранники топологичны сфере, они в данном примере могут быть все только выпуклые, в прямом смысле, и образовывать многогранник, близким к сфере. Я нарисую, как смогу и пришлю.
, где χ- эйлерова характеристика поверхности многогранника, в частности для поверхности топологически эквивалентной сфере χ=2. 
- количество n-мерных многогранников.
является вектором полупростого многогранника, если выполняются все следующие условия
