На плоскости даны точка S и треугольник АВС в котором ∠АВС=90°. Какова максимальная площадь ΔАВС если x, y, z это расстояния от S до вершин треугольника, где х=SВ ?
Я правильно понимаю, что x,y и z фиксированные числа? И надо выразить max площадь в зависимости от их значений.
Нарисовал картинку, и похоже, что при заданных х,у,z максимальная площадь получается при нахождение точки внутри треугольника: тогда и х и у и z увеличивают площадь.И похоже,(хотя тут надо бы еще порисовать) при условии, что точка лежит на пересечение гипотенузы с высотой из В (она же х). Тогда площадь = X(Y+Z)/2. Фишка в том, чтобы сначала рисовать не треугольник, а точку с 3 лучами, причем первым луч Х. Тогда все становится понятней.
Сообщение отредактировал никник - Вс, 22.03.15, 21:52
И похоже,(хотя тут надо бы еще порисовать) при условии
никник, никаких доп. условий, асе условия даны. Нужно найти выражение, удовлетворяющее условиям задачи. А например написанное Вами ранее y•z/2 это будет частный случай, который будет следовать из найденного выражения положив x=0. Нас вообще не интересует чему равны x,y,z, просто мы знаем, что они есть и они зафиксированы Требуемое выражение, должно быть справедливым при любых заданных x,y,z.
Площадь прямоугольного треугольника ΔАВС =1/2(AB*BC). Независимо от того, где бы точка S ни находилась на плоскости - АB=√(y2+x2-2xyCos∠ySx), BC=√(z2+x2-2xzCos∠zSx). Тогда площадь ΔАВС=1/2*[√(y2+x2-2xyCos∠ySx)*√(z2+x2-2xzCos∠zSx)]. Можно говорить, первое,- что когда точка S где-то за пределами треугольника, то углы ∠ySx и ∠zSx острые и выражения 2xyCos∠ySx и 2xzCos∠zSx только уменьшают площадь; второе, когда точка S находится на пересечении гипотенузы и высоты из угла ∠АВС, косинусы углов ∠ySx и ∠zSx равны нулю; третье, как только точка S смещается в треугольник и только по высоте, углы ∠ySx и ∠zSx становятся тупыми, а их косинусы отрицательными, что увеличивает подкоренные выражения. Но где же золотая середина? Может здесь надо находить экстремум (максиум) выражения площади, но неужели через производные?
Так и хочется взять эту точку пальцами и двигать её по плоскости, по разным направлениям, меняются величины x, y, z, меняются углы xSz, xSy, нo AB и BC остаются постоянными или я, вообще, ничего не понимаю.
