Китаец Серёга, жил на очень длинной улице, в доме под номером X, на которой точно больше 500 домов и меньше 5000, при этом дома были пронумерованы последовательно, по порядку, натуральными числами, начиная с дома номер 1. Однажды Серёга заметил, что если двигаться от начала улицы до его дома (не включая его), то сумма всех номеров встречающихся на этом пути домов, будет равна сумме всех номеров тех домов, которые встречаются на пути при движении с конца улицы до его дома(не включая его).
Найдите номер дома Китайца Сереги.
P.S. Для тех кто хочет немного больше поломать голову. Найдите все решения, в случае если количество домов неизвестно и улица может быть сколь угодно длинной.
А поменьше нельзя было домов придумать? Сосчитаь суммы номеров домов можно и в уме, там одинаковый принцип. Однако, когда домов от 500 до 5000, то там сотни тысяч и миллионы. Я, конечно, понимаю, что всё можно выразить в формулах через буквы, но это не для меня.
Слева сумма: (1+x-1)(x-1)/2=(х2-x)/2= Справа сумма:(х+1+n)(n-х)/2=(n2+n+xn-x2-x-xn)/2 2x2=n2+n=n(n+1)=х*2х примерно равно (1,4х)2
Последняя цифра х либо 1либо9(=6*7=8*9) либо 5(=9*0=0*1=4*5=5*6) либо6(1*2=3*4= nn+1: 01 12 34 56 67 89 *: 0 2 6 /2: 0 5 1 6 83 x: 0 1 4 5 6 9 2378 x2:0149656941 708 домов с 501 иксом чу-чуть не сходятся) С другой стороны сумма ряда (n2+n)/2 То есть х2 = сумме всех домов, а она соответственно равна квадрату.
Сообщение отредактировал никник - Чт, 25.11.21, 14:08
Однако, когда домов от 500 до 5000, то там сотни тысяч и миллионы.
Необходимо найти номер дома, а не считать суммы. Вы расскажите в чём у вас загвоздка, в какой тупик вы зашли, а я вам помогу, подскажу.
Цитатаникник ()
С другой стороны сумма ряда(n2+n)/2 То есть х2 = сумме всех домов, а она соответственно равна квадрату
Хорошее замечание, но оно мало что даёт, хоть и несколько сокращает количество возможных решений.
Цитатаникник ()
2x2=n2+n=
А вот сюда следует присмотреться повнимательней. Взгляните на правую часть равенства, её можно дополнить до полного квадрата. Попробуйте обе части равенства домножить на 4, а потом к правой части добавить 0 в виде (1-1). Вы получите конечно немного более лохматое выражение, но там можно будет провести замену переменной и вы получите уже что-то более стоящее. Попробуйте, что у вас получится. Завтра я дальнейшее направление подскажу.
Ну что тут может получиться если не имеешь идеи куда вести.
Возможно пока не ясно для чего всё это делается, но вы всё потом поймёте я уверен, а пока нужно замену переменных произвести как я и говорил. Вот здесь:
Цитатаникник ()
(2x)2+(2x)2+1=(2n+1)2
Всё что в скобочках, можно заменить на Х и N например. Получится уже кое-что с чем можно работать. Я позже объясню всё.
2у2 -н2= -1 (2у-н)(2у+н)=-1 Действительно что-то странное получается, учитывая, что в обеих скобках целые числа. У меня где то ошибка? 288-289=-1 (24-17) (24+17) (кор2*у-н)(кор2*у+н)=-1 у2-н2=-(у2+1) 2у2+1=н2 у2-н2+1=-у2 корень2=99/70
Отлично никник. Не будем отвлекаться на то, что не верно, отмечу только то, что верно, и подскажу дальнейший путь, хотя вы уже очень близки к решению.Для начала давайте немного приведем в порядок вот это выражение.
Цитатаникник ()
2у2 -н2= -1
Запишем его следующим образом:
2x, заменил на Χ, а (2n+1) на N, чтобы не путаться с новыми переменными. Это тоже самое что у вас но более интуитивно, к тому же минус единица в конце концов может завести в тупик, но это вы поймёте в самом конце решения. И давайте это уравнение запишим в более общем виде.
Это понадобится в дальнейшем.Теперь посмотрим вот на это ваше приближение:
Цитатаникник ()
корень2=99/70
Это не равенство это всё таки приближение. Можно найти много несократимых дробей где p и q целые числа, которые являются некоторым приближением для вещественного числа t. Вопрос, какое приближение считать наилучшим. В школе, возможно об этом многие забыли, нам говорили, что несократимая дробь
является наилучшим приближением вещественного числа t, среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит q, если:
Запомним это неравенство. Оно тоже пригодится.А сейчас взгляним вот на это ваше выражение:
Цитатаникник ()
(кор2*у-н)(кор2*у+н)=-1
Учитывая, что мы немного поменяли знаки в этом уравнении и то, что ввели более общее, мы можем записать:
Из задачи нам известно что Поэтому получается, что:
И в итоге можем записать:
Если разделить последнее неравенство на 2X2,
то получим:
А теперь внимательней взглянем на последнее неравенство, и неравенство (1) которое характеризует наилучшее приближение для некоторого вещественного числа, они идентичны, следовательно, учитывая что в нашем случае m=2, то получаем что дробь с неизвестными из нашего уравнения
является приближением числа √2.Как на мой взгляд, это очень красивый результат.Осталось найти эти самые наилучшие приближения числа √2, и решение в кармане. Здесь есть место для подумать, которое я с радостью предоставляю Вам. Все подсказки сделаны. Обдумайте всё написанное в этом посте ещё раз, посмотрите на название темы, почитайте в интернете о бумаге формата серии А, это должно натолкнуть на верный путь.
