1, 6, 35, 204, 1189, 6930 хi+1=6xi-xi-1 Обозначим "к" порядковый номер х хк=6к-1 -6к-2 х1=1=6к-1 х2=6х1-х0=6-0=6=6к-1- (к-2)6к-3 х3=6х2-х1=6(6х1-х0)-х1=62х1-х1=6к-1-(к-2)6к-3 х4=6х3-х2=6(36х1-х1)-((62х1-х1)+х1)/6=(63х1-6х1)-6х1=63х-2*6х=6к-1-(к-2)*6к-3 х5= 6(63х1-6х1-6х1)-(62х1-х1)=64х1-62х1-62х1-(62х1-х1)=64х-3*62х+х=6к-1-(к-2)*6к-3- (к-6)6к-5(?) +(к-4)6к-5? Очень напоминает интеграл, что весьма логично, т.к. это собственно и есть интеграл. Но немножко не бьется... х6=65х-3*63х+6х -(63х-2*6х)=65х-4*63х+3*6х=6к-1-(к-2)6к-3- ?(к-9)6к-5..
. Давайте я ещё раз уточню, - необходимо найти формулу вида
где xi - это i-ый член рекуррентной последовательности: 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, … Рекуррентное соотношение вы определили верно.Теперь мы знаем что шишку и данную задачу объединяет рекуррентное соотношение вида
где a и b - целые числа.
Вообще любое число t представимое цепной дробью
можно представить рекурентным соотношением.Ведь если брать подходящие дроби
и т.д., то понятно, что подходящая дробь δs , s > 1, получается из дроби δs-1 заменой в записи выражения δs-1 буквы qs-1 выражением qs-1+1/qs .Когда мы подсчитаем каждую «многоэтажную» дробь, то получим несократимую «одноэтажную» дробь
Если взять для удобства (и не только, но на этом я не буду останавливаться) P0=1, а Q0=0 (делить на ноль не нужно, это формальное соглашение), то получим:
Далее:
Затем:
и. т.д.Видно что получаем рекуррентное соотношение:
И для того чтобы посчитать подходящие дроби √2, не обязательно вручную считать каждую «многоэтажную» дробь, достаточно набора остатков:
Такой набор математики называют континуантой, и именно континуантой представляют цепные дроби, т.е. в серьёзной математической литературе вы вместо вот такой записи:
скорее всего увидите вот такую запись:
Но это уже другая история, главное мы видим, что всегда упираемся в рекуррентное соотношение.В нашем случае как я уже говорил, имеем рекурентную последовательность второго порядка. Числа Фибоначчи тоже описываются рекурентным соотношением второго порядка, для этих чисел есть явная формула (формула Бине) для нашей последовательности, очевидно тоже должна быть формула.Вот вы же изначально использовали формулу
О ней в школе узнают, возможно с ней просто знакомят, но иногда и показывают как выводят.
Вы помните как выводят её?Ведь последовательность натуральных чисел это рекурентная последовательность второго порядка, вида:
В свою очередь сумма первых i натуральных чисел образует последовательность:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 37, ….Которая является рекуррентной последовательностью третьего порядка, вида:
И явную формулу в замкнутом виде для этой последовательности вы хорошо знаете
Конечно вывести формулу для рекуррентной последовательности можно разными способами, например с помощью производящей функции, вы уже о таких функциях слышали и знаете как её найти, этот метод можно на примере увидеть здесь, вразделе «Примеры решений задач методом производящих функций».
Родоначальник данного метода, Эйлер, поэтому ещё больше примеров в доступной форме можно найти у него вот здесь, настр 197-218.
Производящую функцию Эйлер в этой работе называет дробью рекуррентного ряда, а явную формулу в замкнутой форме для рекуррентной последовательности, общим членом ряда.
Другой способ нахождения общего члена (Эйлера перечитал) можно найти здесь, стр 179-201.
Если не разберётесь, пишите, я постараюсь более просто всё объяснить в рамках одного сообщения.
Да, Фигаро, спасибо, признаю сложновата для меня оказалась задача. Но с Вашей подсказкой попробую ее дорешать. Дайте мне еще пару дней, если получится решить не заглядывая в ссылки. Ну или неделю, если с 50 стр. Эйлера. xi+1=2xi-xi-1=xi+1 xi-xi-1=1 xi-xi-1=k 2xi-xi-1=xi+k 6xi-xi-1=xi+k 5xi-xi-1=k xi+1=2xi-xi-1=xi+1=2xi-xi+1=2xi-(xi-1+1)+1 xi+1=2xi-xi-1=5xi+1=6xi-xi+1=6xi-(5xi-1+1)+1 xi+1=2xi-xi-1=4xi+1=6xi-2xi+1=6xi-2(4xi-1+1)+1 xi+1=6xi-xi-1=5,8xi+k=6xi-0,2xi+r=6xi-0,2(5,8xi-1+k)+r l+c=6 lc=1 l+1/l=6 l2-6l+1=0 D=32 l=(6+-sqr32)/2=3+-2sqr2
Добавлено (09.12.21, 11:11) --------------------------------------------- хi+1=(3+sqr8)xi=(3+sqr8)xi+xi/(3+sqr8)-xi-1=6xi-xi-1 xi-1=xi/(3+sqr8) х1+n=(3+sqr8)nx1 + х1+n=(3-sqr8)nx1 А где ошибка не пойму. Кстати натуральный ряд таким макаром сводится к xi+1=xi . То есть константу видимо выкинул зря х1+i=(3+sqr8)xi +r=
Сообщение отредактировал никник - Чт, 09.12.21, 07:32
Я извиняюсь, загруженный месяц. Честно говоря, не расписал я предыдущее решение, потому что сделал его методом тыка от формулы натуральных. Опять же методом тыка, вырисовывается вроде такая формула х1+n=(3+sqr8)nx1+(3-sqr8)((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1) но 1)я ее еще не проверял. 2) не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение 3) наверное все таки ее можно упростить. в скобке у нас в общем то получается степенной ряд напоминающий разложение Тейлора.
Опять же методом тыка, вырисовывается вроде такая формулах1+n=(3+sqr8)nx1+(3-sqr8)((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1)
Почему только для чётных n?
Цитатаникник ()
1)я ее еще не проверял.
До сих пор?
А в чём трудность? Можете конечно сами проверить, а можете поверить мне на слово, это выражение не верное. Там в посте #23 даны ссылки, почитайте материал и не придётся тыкать пальцем в небо. Откройте последнюю ссылку, прочитайте пункт 2.7.4. со страницы 191.
Только для четных получается то преобразование, что я пытаюсь прокрутить в самом конце. Ну потому, что если из него получится толк, то можно будет привязать и нечетные,если не получится то и не к чему этим морочиться. В обсуждаемой формуле, да слева стоит индекс именно n+1, но n это натуральные, а не нечетные. Просто мне показалось удобней так записать, да и понятней из каких соображений я делаю такое вычисление. А мне после перерыва приходится и самому это с недоумением вспоминать. В проверке трудность в том, что циферки получаются большие, а я не особо ловко пользуюсь калькулятором. Да, надо бы выделить под задачку полный день. Но нет пока такой возможности. А сорокаминутками при случае я ее похоже не решу. Вы бы не могли ответить на этот вопрос "не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение?" в формате да/нет, даже если выше Вы на него уже ответили в более интеллектуальном формате?
ЦитатаФигаро ()
сами проверить, а можете поверить мне на слово
Я так обычно работаю Фигаро - из общих соображений составляю примерное решение, а потом довожу его до верного либо выясняю, где у меня заблуждение в общих соображениях/где я неправильно представляю начальные данные.
Сообщение отредактировал никник - Пт, 24.12.21, 06:27
В обсуждаемой формуле, да слева стоит индекс именно n+1, но n это натуральные, а не нечетные
Я вот об этой записи:
Цитатаникник ()
((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1)
она подразумевает что n,- четное число.
Цитатаникник ()
не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение?"
Любая прогрессия это рекурентная последовательность.
Цитатаникник ()
Я так обычно работаю Фигаро - из общих соображений составляю примерное решение, а потом довожу его до верного либо выясняю, где у меня заблуждение в общих соображениях/где я неправильно представляю начальные данные.
Все подсказки уже даны, и для того чтобы найти общий метод вывода формулы, и для того чтобы как Гаусс в истории про сумму чисел от 1 до 100, подметить некоторые важные детали и решить задачу частным методом. В посте #25 я дал вам табличку Понятно что здесь нужно как-то вычленить числа стоящие перед корнем и просто разделить их на два. Как это сделать? Вы получили два корня характеристического уравнения: Нс и Нс-1 Попробуйте составить табличку для Нс-n Посмотрите на обе таблички, и думаю вы сразу поймёте что делать. Чтобы обойтись без калькулятора при составлении таблички, нужно внимательней почитать пост #25, и понять, что геометрические прогресси : удовлетворяют все тому же рекурентному соотношению .
