Да, это верно для любого ограниченного выпуклого многогранника, все грани которого являются треугольниками.
Это утверждение легко доказывается с помощью формулы Эйлера для многогранников.
Доказательство:
1. Формула Эйлера: Для любого выпуклого многогранника выполняется соотношение: В - Р + Г = 2,
где:
В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней.
2.Учёт треугольных граней:
По условию, каждая грань — треугольник. Если мы посчитаем количество ребер у всех граней, мы получим 3Г. Однако при этом каждое ребро будет посчитано ровно два раза (так как оно принадлежит двум граням). Поэтому:
3Г=2Р
Отсюда можно выразить число рёбер: Р = (3Г)/2
3.Подстановка в формулу Эйлера:
Подставим выражение для Р в формулу Эйлера:
В - (3Г)/2 + Г = 2
Упростим это уравнение:
В - (3Г)/2 + (2Г)/2 = 2 В - (Г)/2 = 2
4.Вывод целевой формулы:
Теперь решим уравнение относительно Г:
В - 2 = Г/2
Умножим обе части на 2:
2В - 4 = Г Ч.Т.Д. : Число граней = 2 * (Число вершин) - 4.
Сообщение отредактировал Дилетант - Пн, 01.09.25, 15:04
