У все того же Петрова есть статья "[Петров И. Б. "Численное исследование делимости «золотых чисел удачи: A/Ω = 81/54», СИ, 74 с. - 2021 [18+]], где он рассказывает от так называемых "числах Хоппа". Сразу предупреждаю, что несмотря на название статья позиционируется как исключительно математическая. Ни какой пропаганды эзотерики и т.п. Сами "числа Хоппа" соответствуют утверждению:
существуют натуральные многозначные числа, такие что будучи возведенные в степень равную девяти, порождают числа, сумма цифр каждого из которых равняется исходному числу.
Для двузначных чисел, кажется единственным примером (я правда в этом не уверена) могут служить числа 81 и 54. Но в целом таких чисел бесконечно много. Сама по себе их последовательность не представляет особого интереса. Я не в коем случае не пропагандирую эзотерику, но "из песни слов не выкинуть". Дело в том, что "числа Хоппа" соприкасаются с неким принципом: A/Ω. Он восходит к временам пифагорейцев. Не станем тут обсуждать волшебную составляющую этого принципа. А просто заметим, что "числа Хоппа" интересны в своем сочетании. И это уже может представлять интерес для математики, как занимательной, так и для практической (в некоторых случаях).
Так к примеру, Петров предлагает рассмотреть числа вида A^Ω и Ω^A. Исследует их на предмет делимости, но оперирует только числами 81 и 54. Среди прочих рассматривается число 81^54 - 1, которое вероятно относится к колоссально избыточным числам (более 25 млн. делителей). Если среди подобных чисел встречаются часто колоссально избыточные, то это уже огромный интерес для программирования например
Добавлено (24.08.2021, 10:24) --------------------------------------------- Немного истории: кто такой Хоппа и почему эти числа назвали в его честь? Цитата с одного форума (от syndicatel):
Цитата
Итак, вся история началась на заре сети интернет (1990-е ?), когда было принято общаться через электронную почту с университетский компов. Так вот некто студент филиппинского происхождения М. Hoppa в одной такой переписке на тему "занимательной" математики упомянул, что дескать есть такие интересные числа, которые известны еще с древности. И кратко рассказал о них. Я считаю что именно с легкой руки Петрова эти числа и начали именоваться "числами Хоппа" хотя возможно это и не так.
Сообщение отредактировал olgaSamara - Вт, 24.08.21, 10:27
olgaSamara, а что вы собственно хотите? Обсудить «статью», или эти самые числа? Я если позволите и о том и о другом напишу, сначала по форме а потом по содержанию. Сразу хочется отметить, что увидев название темы
не следует обольщаться, никакого исследования вы не обнаружите.Часть текста посвящена признаниям автора в том, что его «изыскания» к математике имеют весьма и весьма посредственное отношение, но тем не менее, сам же называя своё творение чисто художественным произведением, для чего-то опять произносит «магическое» словосочетание: «метематическое исследование», которое он в данном «сочинении на вольную тему» так и не покажет.
Вместо математического исследования, автор изложил пару страниц текста, в котором он рассказывает сколько делителей у некоторых чисел, которым он приписываете некие необычные с его точки зрения свойства, ну а на остальных 70 страницах, вывалил неполные списки делителей тех самых чисел о которых он ведёт речь, но для чего этот список так и не ясно. Так же в статье лейтмотивом пробегает мысль о том, что число 9 имеет перед всеми остальными некоторое привилегированное место и всячески тянет за уши, эту самую девятку во все щели, избегая мест, где эту девятку ни за какие уши не притянешь. Числу 3/2 тоже приписывает какие-то чудодейственные свойства, о которых автор почему то предпочёл не говорить.
На этом своё лирическое отступление я закончу и перейдём к разбору этой художественной беллетристике по существу:О числах Хоппа, слышу впервые. Как бы там ни было, в дальнейшем, для того чтобы все понимали о чём речь я эти числа буду называть Х ([Хэ]) числа.Сначало обсудим вот это ваше утверждение:
ЦитатаolgaSamara ()
Для двузначных чисел, кажется единственным примером (я правда в этом не уверена) могут служить числа 81 и 54. Но в целом таких чисел бесконечно много.
Справедливости ради нужно отметить, что Петров такого утверждения не делает, что конечно ближе к математике его всё равно не делает.И так по определению Петрова, Х числа это:
К сожалению Петров не поясняет что он имеет в виду под словами «многозначные числа», поэтому у каждого будет возможность оценить насколько они (Х числа) многозначные.Строго это определение записывается так:Числа n,для которых справедливо
являются Х числами.Здесь d - это база ( как и далее), а Dsd(n) - это функция дающая сумму цифр числа n, взятого в базе d.Например
Дело в том, что таких Х чисел даже на первый взгляд конечное число, т. к. функция суммы цифр числа n асимптотична к росту n.Показать это довольно просто, т. к. максимально возможная сумма цифр числа n, равна Здесь Для десятичной системы счисления это означает, что максимальная сумма цифр числа n достигается когда n состоит полностью из одних девяток.Иными словами справедливо следующее нестрогое неравенство
(В дальнейшем будем пологать d=10 но всё сказанное будет справедливо для любой d)Функция f(n) =n растёт линейно.
Спрашивается а как растёт функция
? Она асимптотична к f(n), т. к. предел отношения f(n) /g(n) при росте n равен 0
На математическом «санскрите», это означает,g(n) =о(f(n)),читается это не менее непонятно:функция g(n) является "о" малым от функции f(n), в окрестности некой точки (обзавём её буквой Ж, я бы даже сказал полной Ж). На человеческом языке это означает, что после числа Ж, сумма цифр числа n9растёт медленнее чем само число n. Для тех, кто не понял, скажу ещё проще, - есть такая Ж, что все Х < Ж.График функции g(n) выглядит так
Пересечение f(n) и g(n), при n>0, это и есть искомая Ж.
Т. е. этим мы опровергли слова автора данной темы и показали, что Х чисел конечное количество. Найдём эту Ж, для этого приравняем к нулю разность функций f(n) и g(n), и найдём корень.Мучать математической абракадаброй не буду,, можете мне поверить на слово, Ж=189
Конечно нужно уточнить что эту оценку можно снизить, но здесь я не монографию пишу а разбираю художественное произведение.Получается что по Петрову многозначные числа это все натуральные числа меньшие 189. (как тебе такое Илон Маск).Идём дальше.Петров пишет:
Это плохо, что Петров не утруждает себя проверкой того, «исследованием» чего якобы занимается. И этому вероятно есть объяснение, Петров выбрал то что можно уложить в повествование о вездесущей девятке, а то что не укладывается в эту афёру можно элегантно проигнорировать.Ну чтож Петров не проверял, а мы проверим.Вероятно многие знают что такое цифровой корень.Кто не знает объясняю, это некоторая функция ( обозначается Dr), которая итерационно применяет функцию Ds, к заданному числу, до тех пор пока не выдаст одноразрядное число.Т. е.
например:
т. к.
В базе d, цифровой корень числа n равен остатку от деления n на d-1.Математики это записывают так
Это справедливо т. к.
и
Поэтому не важно в какую степень мы возводим базу.Например если возьмём трехзначное число, то
Отсюда сразу вытекает признак делимости n на d-1. Т. е. Число n в базе d, делится на d-1 тогда, когда, сумма цифр числа n делится на d-1.Для десятичной системы счисления, это признак делимости на 9, т. е. число n делится на 9 тогда, когда на 9 делится сумма цифр данного n. Именно так на человеческом языке звучит запись
Вооружившись этими элементарными знаниями, мы готовы решить все вопросы которые не решил Петров в своём «исследовании».Найдём все Х числа, благо мы выяснили что они все меньше 189.Сократим ещё область поиска Х чисел решив сравнение
Это значит, что все Х числа имеют вид 9n, 9n+1,9n+8.Зная этот факт, а так же то, что Х числа не превышают 189, можно легко отыскать их все, даже простым перебором, но попробуйте всё-таки попробовать без перебора.Окунаться в модулярную арифметику с головой мы не будем, каждый сам может это сделать самостоятельно и убедится, что довольно просто обнаружить что Х числами являются всего 4 числа , а именно1, 54, 71, 81.По версии Петрова это многозначные числа))Число 71 не укладывается в концепцию Петрова, т. к.
А числа 81 и 54, безусловно в какую степень не возводи они будут делится на 9т.к.
поэтому
и
делятся на 9.Другими словами
т. е.
Поэтому на вопрос Петрова
Ответ столь же банален, как и вопрос, зная признак делимости на 9, эти "занимательные" свойства, становятся тривиальщиной. Всё тоже самое справедливо для числа 1 в двоичной системе, для числа 2 в троичной системе и т. д, Иными словами каждая цифра обладает этими «занимательными» свойствами в определённой системе счисления.На этом можно было бы закончить, но стоит разобрать ещё одно предположение выдвинутое Петровым, которое он неудасужился ни чем подкрепить. Звучит оно так:
На чём основано это предположение, кем выдвинуто не ясно. Петров даёт ссылочки
Можно подумать, что это предположение выдвинули авторы работ на которые ссылается Петров, но нет, изучив их, мы обнаруживаем, что там можно найти только определение чисел CA и SA.Я здесь ограничусь лишь определением чисел SA, т. к если мы выясним, что число 81^54-1 не входит в множество чисел SA, то оно не является и числом CA.По Рамануджану, число n является числом SA, если выполняется следующее неравенство:
На людской язык эти каракули переводятся так:Натуральное n является числом SA, если отношение суммы всех делительй n (включая само n) к n больше отношения суммы всех делителей числа m к m, для любого m меньшего n.Сумма всех делителей числа n, взятых в степени k, определяется функцией
т. е например
это сумма делителей n,а это их количество.Не буду откладывать в долгий ящик ответ на поставленный вопрос, сразу скажу что число 81^54-1 не входит в множество чисел SA, а следовательно не является и числом CA ( к слову в обратную сторону так рассуждать неверно).Контрпример число 840.т.е
т. к.
. Любопытно то, что Петров даёт список делителей числа, 81^54-1, а зная их можно сразу сделать предположение что это число не является SA, но Петров почему-то в очередной раз делает по детски наивное и очевидно неверное предположение. Дело в том, что если бы Петров читал те работы на которые сам ссылается, то увидил бы в работе Рамануджана, что он вводит такие натуральные числа n, для которых при любом m<n выполняется неравенство
Т. е. число n, количество делителей которого больше чем количество делителей любого (натурального) меньшего числа.Назавём эти числа, сильно избыточными.Так вот, из работы Рамануджана видно что «сильно избыточные» включают в себя числа SA.И здесь уже всё очевидно.Основная теорема арифметики гарантирует нам единственность разложения любого натурального на простые множители (факторизация) , т. е
Например число 360 фактаризуется следующим образом
Не нужно быть семь пядей во лбу, чтобы понять, что количество делителей числа n можно посчитать следующим образом
Например всё для того же числа 360, мы берём показатели степеней в его факторизации, прибавляем к каждому из них единицу а суммы перемножаем
. Зная это, становится очевидным, что «сильно избыточные» числа являются произведением праймориалов.Праймориал это произведение первых n простых чисел, записывается он следующим образомНапример
Петров предоставил список делителей числа 81^54-1, а значит смог факторизовать его, а следовательно видя что это число не является произведением праймориалов (т. е. разброс простых в разложение большой) можно было сразу сделать вывод что оно не является «сильно избыточным» числом, а значит оно не SA и не CA.У числа 81^54-1 по заявлению Петрова 25 165 824 делителей.Проверять я это не буду, поверию на слово.Возьмём для контрпримера,это произведение первых 16 простых чисел в квадрате
это число на 64 порядка меньше числа 81^54-1, однако делителей у него
больше, следовательно уже из этого можно заключить что число 81^54-1 не SA и не CA, т. к, не является «сильно избыточным».На этом думаю достаточно обсуждать эту «статью», да и больше нечего .
Сообщение отредактировал Фигаро - Вт, 14.09.21, 21:32
Фигаро, Фигаро, не могли бы Вы столь же доходчиво прокомментировать и некоторое мое непонимание? (не имеющее отношения к вопросу, но офтоп на этом форуме вполне приемлем) Когда я пытаюсь, представить производящую функцию генерирующую натуральные числа в виде решения уравнения (х-1)(х-2)(х-3)(х-4)(х-5)....=0, то на первых n членах, у меня получается, что в промежутках между целыми числами х (понятно, что в натуральных таких промежутков нет, и все таки), у уходит, как в положительные, так и в отрицательные значения. С одной стороны, это (отрицательные значения) вроде само собой разумеется, ведь получается степенная функция. С другой, очень не бьется с моими представлениями о ряде натуральных чисел. В связи с этим такие вопросы: -Существует ли производящая функция натуральных чисел? -Является ли все ж таки уход в отрицательные числа погрешностью в связи с рассмотрением мной решений лишь для первых членов, а при решение бесконечного количества множителей отрицательные значения "уходят"? -Если Вы видите причины моего недоумения (я, честно говоря, и сам не могу их внятно сформулировать), не могли бы Вы прокомментировать и их?
Сообщение отредактировал никник - Пн, 27.09.21, 14:07
Никник, я не знаю что вас удивляет.Бесконечное произведение, данной последовательности
будет равно нулю при любом натуральном x.Если x нецелое, то при Произведение
будет положительным, а при
произведение будет отрицательным если "a" нечетно, и положительным если "а" четно.Вы же получается просто умножаете, то минус на минус и в итоге получаете плюс, то минус на плюс, получая минус, и так будет продолжаться всегда.Что касается производящей функции натуральных чисел то она в замкнутом виде выглядит так
, вывод этой производящей был дан в посте #10 вот в этой задаче, где в частности были даны и иные производящие, - для квадратов натуральных, для чисел Фибоначчи и т.д. Ничего страшного что вы об этом не вспомнили или возможно изначально и не видели, мало кого интересуют какие-то математические каракули, даже если ими написаны вполне простые вещи. В той же задаче, кстати зарыт ключ к решению задачи Неархимедов мир
Сообщение отредактировал Фигаро - Сб, 02.10.21, 23:08
Фигаро, спасибо. Мне не удалось загуглить значок "стертыхсверху" квадратных скобок не могли бы Вы его расшифровать?
ЦитатаФигаро ()
Ничего страшного что вы об этом не вспомнили или возможно изначально и не видели
Безусловно, в моем возрасте уже поздновато фундаментально осваивать математику, и я читаю в основном то, что мне интересно. Все же даже прочтя тот пост, я не пойму почему она производящая для натуральных, ведь она дает и дробные значения (при 0,1=100/81)? Удивляет, меня, видимо, вот что: я пытаюсь представить себе функцию решения такого уравнения, а затем расширить "числовое пространство" от натуральных до положительных, и вроде бы функция решения должна при этом остаться непрерывной. Но тогда, как мне кажется, должна быть непрерывной и область значений исходной функции. Но если у нас "еще нет" отрицательных чисел, то получается на этих участках она прерывается?
Сообщение отредактировал никник - Пн, 04.10.21, 17:19
Мне не удалось загуглить значок "стертыхсверху" квадратных скобок не могли бы Вы его расшифровать?
Ну если строго, то это кусочно-постоянная функция, такая, что
По русски, это просто целая часть числа, т.е. наибольшее целое, которое меньше или равное данному. Я уже об этом писал в этой задаче в посте #3 Пример:
или например
Цитатаникник ()
Все же даже прочтя тот пост, я не пойму почему она производящая для натуральных, ведь она дает и дробные значения (при 0,1=100/81)?
Нет. Производящая функция f(x), некоторой последовательности t1, t2, t3, ….. это функция вида
В нашем случае нам нужно найти такую f(x), для которой сумма по степеням аргумента равна:
Это конечно не школьная задача, но всё же как показано в задаче «Дроби» её можно решить, лишь обладая знанием о том, что такое геометрическая прогрессия.
Цитатаникник ()
Удивляет, меня, видимо, вот что: я пытаюсь представить себе функцию решения такого уравнения,
Да, извините,упустил. Я вроде бы понимаю о чем Вы пишете дальше, но немножко попроще формулируя, примерно так):
Цитата
Вы же получается просто умножаете, то минус на минус и в итоге получаете плюс, то минус на плюс, получая минус, и так будет продолжаться всегда.
и мне не совсем понятно зачем пришлось разбить на слагаемое с а. А главное, никак не пойму верен ли вывод, так как это упирается еще в одну старую мою зарубу: четна или нечетна бесконечность.
ЦитатаФигаро ()
Нет. Производящая функция f(x), некоторой последовательности t1, t2, t3, ….. это функция вида
А тут сильно не понимаю. Это вид функции, но у нее же есть смысл? Я полагал, что она должна выдавать строго значения ряда, а иначе для чего ее составляют?
ЦитатаФигаро ()
Удивляет, меня, видимо, вот что: я пытаюсь представить себе функцию решения такого уравнения,Подробнее можно?
Для того, чтобы вы понимали, как, и почему чередуется знак, вы же сами об этом просили, разве нет?Думаю если бы я вам написал вот так
то вероятно вы бы ничего не поняли.
Цитатаникник ()
Это вид функции, но у нее же есть смысл? Я полагал, что она должна выдавать строго значения ряда, а иначе для чего ее составляют
Если у вас есть функция, то разложив её в ряд, вы можете аппроксимировать функцию, и это полезно для изучения самой функции.Если у вас есть степенной ряд, то вы можете найти его сумму, а также изучить последовательность, которая задаётся в этом ряду, вплоть до выявления явной формулы. Например в задаче «Геометрияудара 2.0» для того чтобы строго доказать формулу предложенную nebo, вам просто будет необходимо разложить функцию arctg(x) в степенной ряд. В этой задаче этого сделано не было, но этого и не требовалось. Такое доказательство можно подсмотреть у Гальперина, которое как раз и начинается с разложения функции arctan(x) в степенной ряд:
В математике и физике это встречается довольно часто. Занимаясь серьёзной наукой (так или иначе связанной с математикой) вам очень часто приходится находить производящую, или наоборот раскладывать функцию в ряд.Как функцию разложить в степенной ряд это отдельный разговор, если будет интересно я расскажу как нибудь, это действительно очень нужный инструмент как в математике так и физике.
Цитатаникник ()
четна или нечетна бесконечность.
Понятия четности и бесконечности не совместимы. Свойством четности обладают только целые числа, а бесконечность это не число, поэтому ваш вопрос не имеет смысла. Вы смешиваете тёплое с мягким.И в общем, если вам где либо встретиться вопрос, разрешением которого будет по факту ответ на вопрос который я процитировал, то значит в изначальном вопросе смешивают (возможно очень замаскировано) что-то принципиально разное, что изначально противоречит (возможно и незаметно) друг другу.
Цитатаникник ()
Функцией решения для у(х) я называю х(у)
Вы понимаете, что вы написали x=y ? Как это относится к тому что вы писали и к тому о чём я просил?
Функцией решения для у(х) я называю х(у)Вы понимаете, что вы написали x=y ?
Нет, я буквален - у в у(х) это (у) в х(у); (х)-х. Не только условное обозначение функции, но и те же самые абсцисса и ордината. Разумеется, это одна и та же связь с одним и тем же графиком. Функция - у(х), ее функция решения - х(у). у=х-5 функция х=у+5 ее функция решения Разумеется это моя формулировка, а не математический термин.
ЦитатаФигаро ()
Как это относится к тому что вы писали и к тому о чём я просил?
я исхожу из того, что Вы уточняете именно то что процитировали, то есть эту формулировку. В целом же я писал о том, что: Представим, что мы договорились не только о том, что на 0 делить нельзя, но и что отрицательных чисел не существует. Как выглядит график функции у=(х-1)(х-2).....в такой математике? х принадлежит множеству положительных чисел. График непрерывный или дискретный? И, если он дискретный, то дискретный и график х(у) (это ж один и тот же график)? Но, как он дискретный, если по условию х пробегает непрерывное множество положительных чисел?
четна или нечетна бесконечность.Понятия четности и бесконечности не совместимы. Свойством четности обладают только целые числа, а бесконечность это не число, поэтому ваш вопрос не имеет смысла.
Тем не менее именно от этого зависит в нашем случае знак решения. Для математика, наверное, четность и симметричность это теплое и мягкое, я принципиальной разницы не вижу. Но если это что-то меняет симметрична ли бесконечность? Приводил уже свое мысли по этому поводу здесь https://eruditov.net/forum/50-2598-2 в постах 15 и 19. Дополню еще одним вопросом отрезок это совокупность бесконечного множества точек. У бесконечности нет середины, тем не менее у отрезка середина есть? И если есть, то каждой точке справа есть пара слева и наоборот. Но сама точка середины является непарной?
Добавлено (11.10.2021, 01:27) --------------------------------------------- Ну, в принципе, я уже понял, что обе функции будут с разрывами
Давайте сразу уточним, вы делаете утверждения по темам о которых ничего не знаете, или ничего не понимаете, правильно?
Цитатаникник ()
Как выглядит график функции у=(х-1)(х-2)...
Я же уже говорил
Что ещё нужно? Вы график не можете построить или не знаете что такое гамма функция?График выглядит так
Цитатаникник ()
График непрерывный или дискретный?
Функция эта локально постоянная, не всюду дифференцируемая.Не всюду дифференцируема, - значит имеет точки разрыва.Локально постоянная, - значит нескольким аргументам соответствует одно и тоже значение.
и здесь не понятно что вас удивляет, так как для x(y), будет следующая ситуация
Т. Е. Одному аргументу, будут соответствовать разные значения, поэтому пусть аргумент и бежит непрерывно, значения ведут себя иначе.
Цитатаникник ()
Для математика, наверное, четность и симметричность это теплое и мягкое
Никник, слово симметричность я не употреблял, вы кстати тоже о ней не говорили, и не нужно мне приписывать то что я не говорил.Вы задали вопрос, я вам ответил.Если вы что-то не понимаете, я в этом не виноват. Для чего вы задаёте мне вопросы? Пополнить свои знания? Тогда вам следует доверять мне? Если вы не доверяете, то возьмите соответствующую литературу и как следует изучите материал, прочтёте вы тоже самое, что я вам говорю.Я конечно осознаю, что объяснить что-то, тому кто задаётся вопросом «четна ли бесконечность» будет крайне сложной задачей, но я постараюсь.
Цитатаникник ()
симметрична ли бесконечность?
Уточните, что вы имеете ввиду под симметричностью в данном случае.что вы имеете в виду под бесконечностью в данном случае? Если бесконечное множество точек, то на каком промежуткеМожет на этом
или на этом
Или на каком-нибудь из этих
Это всё множества с бесконечным количеством точек, но это всё разные бесконечности.Если на бытовом уровне, то это всё фрукты, но разные фрукты.Это очень важно, в дальнейшем вы поймете для чего.
Цитатаникник ()
Дополню еще одним вопросом отрезок это совокупность бесконечного множества точек. У бесконечности нет середины, тем не менее у отрезка середина есть? И если есть, то каждой точке справа есть пара слева и наоборот. Но сама точка середины является непарной?
Я сейчас попытаюсь вам всё объяснить по порядку, а потом мы вернёмся к этим вашим словам и думаю вы сами поймёте у себя ошибку, то как вы опять мешаете тёплое с мягким.Давайте определимся, что вы имеете в виду под словом середина отрезка.
Определение 1
Пусть середина отрезка [ a, b] это такая точка "c", что
т. е. Середина заданного отрезка это такая точка "с" на данном отрезке, что расстояния от ее, до концов отрезка равны.Но здесь надо уточнить какая норма задана, т.к. с помощью неё определяется расстояние, а есть нормы, введя которые, точек удовлетворяющих данному определению "середины отрезка" , может быть несколько.Поэтому будем считать, что пространство на котором задан отрезок нормировано по L2
Определение 2
Пусть середина отрезка [a, b], это такая точка "c"
что
, Т. Е. середина отрезка [a, b], это точка "с", на интервале (a, b), что между отрезками [а, с] и [c, b], существует биекция. Каждой точке из отрезка [a, c], соответствует точка на отрезке [c, b] и наоборот. Эти отрезки равномощны, содержат одинаковое количество точек.Это как вы говорите, каждой точке найдётся пара (хотя это не тоже самое). Теперь давайте вернёмся к вот этим вашим словам.
Цитатаникник ()
У бесконечности нет середины, тем не менее у отрезка середина есть?
Будем рассматривать его исходя из первого определения "середины отрезка" .Если под словом бесконечность вы имеете в виду [a, b], то середина у него имеется, если вы рассматриваете что-то иное, тогда в чём смысл сравнения разных объектов в данном случае?Это всё равно что говорить, - вот у кураги нет косточки а у урюка есть, а это ведь всё абрикосы.Поясните пожалуйста для чего вы сравниваете разные объекты, и что должно меня удивлять в том, что разные объекты имеют разные свойства?Ладно бог с ним Пусть вы видите смысл в сравнении тёплого с мягким, но для чего вы начинаете говорить о множестве точек на отрезке? Вы так определяете понятие "середины отрезка"? По определению 2, да? Ну тогда, в таком случае не важно что вы имели в виду под словом " бесконечность, у неё как и у отрезка будет середина, более того она не одна.Исходя из этого определения у отрезка [a, b] серединой является точка "с" находящаяся здесь
Или например здесь
и вообще любая точка "с" на интервале (a, b), является серединой отрезка [a, b], исходя из определения 2.Простыми словами, на отрезке длинной скажем один метр, столько же точек, сколько на отрезке от Земли , допустим до Марса.Математически это означает, что между этими отрезками есть отношение биекции.Это очень важный факт, и его нужно знать.Более строго, биекцией называется строго монотонная, непрерывная функция f(x), которая переводит отрезок [a, b] в отрезок [ f(a), f(b) ]Например возьмём отрезок [a, b], и функцию f(x)= e^x, тогда отрезок [ f(a), f(b) ], будет длиньше (исходя из первого определения) изначального
хотя точек на обоих отрезках одинаковое количество,(т. е. их длины равны исходя из первого определения) т.к. это нам обеспечивает функция e^x, она переводит одну точку с начального отрезка точно в одну точку финального отрезка, и не существует иной точки на начальном отрезке, которую функция e^x переводит в ту же точку на финальном отрезке.Надеюсь это понятно.Если вам это понятно, тогда для начала докажите вот вот это ваше утверждение:
Цитатаникник ()
каждой точке справа есть пара слева и наоборот
Теперь перейдём вот к этим вашим словам.
Цитатаникник ()
Но сама точка середины является непарной?
Во-первых, если вы рассматриваете некоторый отрезок [a, b], которым по определению являются все такие точки x, что a≤x≤b. то если вы взяли некую точку "c" на данном отрезке, то не нужно забывать что эта точка по определению принадлежит отрезку [a, b], то есть у вас есть два отрезка [a, c], и [c, b], а следовательно точка c, из одного отрезка соответствует точке "c" из другого отрезка. По простому сама себе пара.
Во-вторых, если Вы обособляете точку "с", то у вас получается три множества, два полуинтервала [a, c) и (c, b], и точка [с]. Тогда о каком отрезке вы ведёте речь, если точка " с" выколотая? Если вы берёте два полуинтервала и некую точку, тогда в чём ваше непонимание?Либо вы относите всё к отрезку, тогда точка сама себе пара, либо вы не относите её к отрезку, тогда в чём вообще ваше непонимание заключается? О принципе Дирихле слышали наверно, да, где кроликов по ящикам раскладывают. Ну вот при такой постановке вопроса у вас получается три ящика в который вы впихиваете два кролика, - как минимум один ящик останется пустым, если конечно кролика нельзя делить или если вместо кролика у вас кот Шрёдингера, который в суперпозиции))Давайте на будущее, если у вас есть вопросы, то формулируйте их строго. Возможно уже на стадии формулировке вопроса, вы сами получите ответ, да и мне будет ясно, что же вы хотите, и это уже в третьих.Теперь по поводу задачи Креативщика, на которую вы дали ссылку.Это яркое подтверждение моих слов сказанных ранее.О чём Креативщик сам же и говорит:
Напомню формулировку вопроса.
Здесь нужно как следует понять почему вот этому выражению
вообще приписывают какое-то число, и что оно означает?Сумма как таковая, это результат сложения всех слагаемых, но дело в том что здесь этих слагаемых бесконечно много, и сложить их не представляется возможным, этот процесс мягко говоря затянется на столько, что результат мы не узнаем никогда.Какого же черта, спрашивается, мы этому выражению приписываем некоторое конкретное число.Дело в том, что здесь сумма определяется иначе, не через процесс сложения слагаемых.В данном случае мы ищем такое наименьшее число x , которое больше любого числа которое можно получить при сложении любого количества первых слагаемых данного ряда.Именно это и означает запись
Это очень важно понимать. По сути это таже сумма, только здесь мы избегаем определение суммы через процесс сложения всех слагаемых.Для того чтобы найти это наименьшее число, которое больше любой частичной суммы ряда ( именно это называется суммой ряда, или более корректно, - присвоение суммы данному ряду) , существуют некоторые специальные правила и способы.В данном случае, я воспользуюсь методом производящих функций, т.к. эта тема уже была затронута.Наш ряд
Мы представим в виде
Таким образом нам необходимо найти производящую функцию для последовательности1,1,1,1,1,...это уже было сделано в упомянутой здесь задачеА именно, мы имеем следующую производящую
Мы получили всем знакомую формулу для нахождения суммы членов убывающей геометрической прогрессии.Таким образом, подставляя значение для x, имеем:
Теперь нужно усвоить, что ряды которым можно присвоить сумму называются сходящимися, в противном случае, ряд называется расходящимся. И здесь просто глупо спрашивать к чему расходится ряд (а никник именно это и спрашивает), т.к. слово "расходится" как раз и означает, что ни какую сумму нельзя приписать данному ряду.Расходящиеся ряды это например такие
И здесь стоит остановиться по подробней.Сумму расходящемуся ряду присвоить никакую невозможно, а вот некоторое значение возможно, а именно я могу записать:
и любой математик согласится с этими равенствами. Что это за значения такие, почему именно такие, и что всё это значит?Как я уже сказал, это мы присвоили не сумму, а некоторое значение, это очень важно понимать, не стоит путать это с суммой ряда о которой я говорил ранее.Такое присваивание какого-то значения расходящемуся ряду, называется регуляризацией ряда.Есть регуляризация по Абелю, по Дирихле, по Чезаро, по Эйлеру и по Борелю (какие-то ещё возможно тоже есть, но я не помню), каждая из этих регуляризацией удобна в том или ином случае, в зависимости от того какой ряд перед вами (быстро расходящийся или медленно и т.д.).Т. Е. есть специальные правила и формулы. Технические подробности я опущу, сосредоточусь на разъяснении того, почему мы получаем именно такие значения и какой смысл всё это имеет, для этого начнём с такого очень хорошего "зверька" как аналитическая функция.Что это за "зверёк" такой, постараюсь объяснить максимально простым языком, но нужно понимать, что от этого потеряется строгость определения, множество нюансов, но это здесь не главное, а главное, чтобы вы понимали о чём речь хотя бы поверхностно.И так, давайте представим координатную плоскость
И давайте возьмём некоторую функцию f(x), например такую
и теперь трансформируем координатную плоскость в соответствии с этой функцией, т.е. точку (2,0), перетянем в точку (4,0), и т.д. и так с каждой такой плоскости. Наша координатная плоскость после трансформации, примет следующий вид (размечена фиолетовым)
И здесь есть некоторая особенность, - углы между линиями как остались теми же что и до трансформации.Если мы возьмём любые две линии на нашей координатной плоскости
то после трансформации углы между этими линиями сохранятся
Так вот если простым языком, то функции, которые сохраняют углы называются аналитическими.Есть много аналитических функций, но здесь конкретно мы рассмотрим дзета-функцию Римана от комплексной переменной. Пугаться не нужно, сейчас всё объясню, написанное далее будет не сложнее написанного ранее.Дзета функция Римана определяется следующим образом.
Как видим аргумент функции (s) это комплексное число, при этом его вещественная часть больше единицы.При таких условиях эта функция определяется как сумма ряда Дирихле!При любых s, где вещественная часть больше 1, этот ряд сходится.Можно заметить что если s=1, то мы получим гармонический ряд.
А что если взять s=-1 ?Тогда получим
это расходящийся ряд, и сумму ему присвоить никакую невозможно.Но если мы и не будем присваивать сумму, тогда, спрашивается, можно ли приписать аргументу функции. s=-1, какое-то значение? Ответ да. И вот как это делается.Обратимся опять к координатной плоскости, только вместо оси у, у нас будет ось мнимых чисел.В принципе это тоже самое с некоторыми нюансами.И так возьмём комплексную плоскость и трансформируем её с помощью дзета функция, тогда у нас получится примерно такая картинка
Теперь давайте зададимся вопросом,возможно ли продолжить эту трансформацию на оставшуюся полуплоскость, и как это сделать?Как видим из картинки, эта функция аналитическая, она сохранила все углы, и именно это условие налагает большие ограничения на способы , которыми можно продлить эту функцию за область её определения.Оказывается что такое продолжение можно проделать только одним единственным образом.И если это сделать то получим примерно такую картинку
И вот когда мы это сделаем мы например увидим, что все отрицательные четные точки после трансформации переходят в 0,
это так называемые тривиальные нули дзета функции Римана, остальные нули этой функции сегодня известно что лежат на полосе между 0 и 1,
а Риман высказал гипотезу что все они лежат на линии, с вещественной частью ½.
За доказательство этой гипотезы дают миллион долларов, если что дерзайте.В частности если например мы хотим узнать сколько простых чисел встречается до некоторого числа x, то это значение даётся функцией
и она равна
здесь ρ - это значения всех нолей дзета функции Римана. Поэтому если кому-то удастся найти все ноли дзета функции Римана, то мы сразу узнаем кучу вещей о распределении простых чисел, а это очень важно для теории чисел, но об этом наверное лучше расскажет Саватеев, я на столько доходчиво говорить не могу. В рамках данного поста, важно понять, что такое аналитическое продолжение.Из аналитического продолжения дзета функции Римана мы видим, что точка s=-1, после трансформации переходит в значение -1/12.но тогда мы можем записать следующее равенство
Да действительно можно, но всегда стоит помнить, что это мы получили не сумму, т.к. дзета функция Римана, определяется через сумму только при s>1, а при отрицательных аргументах, это аналитическое продолжение, и здесь значения функции определяются таким образом:
Это очень важно понимать. В математике можно наткнуться на совершенно удивительные вещи, и важно понимать как это работает и что это означает, поэтому строгие определения очень важны.В физике математика тоже иной раз даёт такие результаты, что диву даёшься, и с этого момента физики начинают делится на теоретиков и практиков. Практики работают дальше, не особо задаваясь вопросом что значит тот результат который выдают ему формулы, и от них мы получаем все плоды технического прогресса, которые прекрасно работают, а теоретики начинают рассуждать о том что же за результат они получили, и из этих рассуждения появляются те или иные интерпретации, которые пока ничего не дают, кроме "пищи" для философа, который сидит в каждом из нас.Могут встретиться два физика и говоря о квантовой механике начать спорить, хотя пользуются они одной и той же математикой, получают одни и те же результаты, но вот интерпретируют они эти результаты по разному, как например в этом видео. Хотя в самом начале на 4:10 минуте они признают что спорить не о чём, но в дальнейшем всё равно спорят)))).Получается, даже в любом учёном, на сколько бы он не был замшелым батоном, живёт философ.А вот в этом примере попробуйте сами дать интерпретацию полученного результата, разбуди в себе философа.Если взять первый том Полчинского по теории струн, то на первых страницах увидим как он, как и пологается для любой теории выводит Гамильтониан
В дальнейшем у него получается, что для того чтобы получить полный Гамильтониан, необходимо знать некие две константы А, и D, где D, определяет размерность пространства в котором мы с вами живём.Далее автор выясняет что эти константы связаны между собой следующим образом
И самое интересное, автор утверждает, что Гамильтониан будет адекватно работать если А=-1. Попробуйте теперь подставить это значение в форму которая связывает константы А и D и понять чему равно DАвтор это проделывает и натыкается на вывод, что D =26
Возможно для большинства людей этот результат и правда покажется странным, ведь как так получается, что сумма всех натуральных вообще равна какому то числу, но те кто понял написанное в данном посте, поймут что за результат получил Полчинский и скажут что он не такой уж и странный. А вот что это значит, как это интерпретировать с точки зрения физики, или может философии? Это на самом деле интересный и глубокий вопрос.В физике такое встречается часто, и в отличии от математиков они не столь строги в определениях, например в 2004 году, менее чем за год два выдающихся физика, А. Славнов и Ф. Индурайн , провели в Барселоне семинары по различным предметам. Интересно, что в обеих презентациях буквально в самом начале, докладчик обратился к аудитории со следующими словами: «Как всем известно, 1 + 1 + 1 + ⋯=-½»Как думаете, после такого начала, много слушателей остались на местах?))Это я конечно немного отступил от темы. Собственно теперь в данном посте достаточно информации, для того чтобы разобраться в задаче Креативщика.
Добавлено (01.11.2021, 00:06) --------------------------------------------- И так, в задаче есть ответ, в котором Креативщик разъясняет что время это процесс, и т.д.Многие возможно не понимают решения, но в это кроме вас никто не виноват. Можно конечно обойти препятствия и применить рассуждения, похожие на те которые приведены здесь относительно суммы ряда, рассуждать о времени не как о неком процессе, а как о промежутках в течение которых переключатель находится в включённом состоянии и промежутках в течении которых включатель находится в выключенном состоянии. Тогда из условий следует что эти промежутки становятся всё меньше и меньше, следовательно в пределе они будут равны нулю, то есть переключатель не будет ни в состоянии ВКЛ ни в состоянии ВЫКЛ. Вот собственно ответ, делайте с ним что хотите. Переключатель где-то на пути от одного состояния в другое.Где именно находится переключатель на пути от одного состояния к другому это можно посчитать.Состояние ВЫКЛ обозначим 0, а состояние ВКЛ 1,Тогда поведение переключателя можно описать следующим рядом:
Где беря почленно частичные суммы мы наблюдаем состояние переключателя
И что же мы здесь видим, ряд этот расходится, значит присвоить какую-то сумму мы ему не можем, но тем не менее условия от нас просто требуют приписать этому ряду какое-то значение.Можно постараттся его найти если оно вообще есть.Опять представим этот ряд в виде суммы членов геометрической прогрессии
И мы знаем уже как её посчитать
Но дело в том что -1, не входит в область определения полученной функции, что же делать. Всё довольно просто, эта функция аналитическая и имеет продолжение поэтому можем смело записать
Смотрится это противозаконно, но поверьте это имеет смысл, и очень неожиданный, но это долгий разговор о расстояниях между числами, об этом расскажу в задаче "Неархимедов мир" если кто нибудь там что-то решит.Таким образом мы получили положении переключателя в позиции ½, , т.е. он не находится ни в положении 0 ни в положении 1.И здесь необходим ответ автора задачи, на вопрос, что происходит с лампочкой, когда переключатель находится в данном положении.Если представить путь переключателяв виде точки, которая путешествует по отрезку [0, 1]
то здесь очень важно, чтобы автор задачи определился с тем как именно работает переключатель, если уточнить эту информацию, станет известно в каком состоянии находится лампочка.Возможно это полуинтервал [0,1)Во всех точках которого лампа не горит и соответственно горит только в точке 1
тогда лампа не горит. А возможно это так [[0, ½], (½, 1]]И лампа опять же не горитЛибо это так [[0,½], [½, 1]], тогда мы имеем точку, как точка 0° С, для воды, и что это значит для лампы это вопрос к автору. В общем при данной интерпретации задачи можно точно определить положение переключателя, и состояние лампы определяется из информации об устройстве переключателя.
