Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » О "числах Хоппа" (sml[theme]по Петрову и не только...)
О "числах Хоппа"
olgaSamaraДата: Вторник, 24.08.2021, 10:16 | Сообщение # 1
Ученик
Сообщений: 4
Награды: 0
Совы: 0
У все того же Петрова есть статья "[Петров И. Б. "Численное исследование делимости «золотых чисел удачи: A/Ω = 81/54», СИ, 74 с. - 2021 [18+]], где он рассказывает от так называемых "числах Хоппа". Сразу предупреждаю, что несмотря на название статья позиционируется как исключительно математическая. Ни какой пропаганды эзотерики и т.п. Сами "числа Хоппа" соответствуют утверждению:

существуют натуральные многозначные числа, такие что будучи возведенные в степень равную девяти, порождают числа, сумма цифр каждого из которых равняется исходному числу.

Для двузначных чисел, кажется единственным примером (я правда в этом не уверена) могут служить числа 81 и 54. Но в целом таких чисел бесконечно много. Сама по себе их последовательность не представляет особого интереса. Я не в коем случае не пропагандирую эзотерику, но "из песни слов не выкинуть". Дело в том, что "числа Хоппа" соприкасаются с неким принципом: A/Ω. Он восходит к временам пифагорейцев. Не станем тут обсуждать волшебную составляющую этого принципа. А просто заметим, что "числа Хоппа" интересны в своем сочетании. И это уже может представлять интерес для математики, как занимательной, так и для практической (в некоторых случаях).

Так к примеру, Петров предлагает рассмотреть числа вида A^Ω и Ω^A. Исследует их на предмет делимости, но оперирует только числами 81 и 54. Среди прочих рассматривается число 81^54 - 1, которое вероятно относится к колоссально избыточным числам (более 25 млн. делителей). Если среди подобных чисел встречаются часто колоссально избыточные, то это уже огромный интерес для программирования например  :)

Добавлено (24.08.2021, 10:24)
---------------------------------------------
Немного истории: кто такой Хоппа и почему эти числа назвали в его честь? Цитата с одного форума (от syndicatel):

Цитата
Итак, вся история началась на заре сети интернет (1990-е ?), когда было принято общаться через электронную почту с университетский компов. Так вот некто студент филиппинского происхождения М. Hoppa в одной такой переписке на тему "занимательной" математики упомянул, что дескать есть такие интересные числа, которые известны еще с древности. И кратко рассказал о них. Я считаю что именно с легкой руки Петрова эти числа и начали именоваться "числами Хоппа" хотя возможно это и не так.


Сообщение отредактировал olgaSamara - Вторник, 24.08.2021, 10:27
 
ФигароДата: Вторник, 14.09.2021, 21:29 | Сообщение # 2
Просветленный
Сообщений: 180
Награды: 7
Совы: 5
olgaSamara, а что вы собственно хотите? Обсудить «статью», или эти самые числа? Я если позволите и о том и о другом напишу, сначала по форме а потом по содержанию.
Сразу хочется отметить, что  увидев название темы


не следует обольщаться, никакого исследования вы не обнаружите.  Часть текста посвящена признаниям автора в том, что его   «изыскания» к математике имеют весьма и весьма посредственное отношение, но тем не менее, сам же называя своё творение чисто художественным произведением,  для чего-то опять произносит «магическое» словосочетание: «метематическое   исследование», которое он в данном «сочинении на вольную тему» так и не покажет. 



Вместо математического исследования,  автор изложил пару страниц текста, в котором он рассказывает сколько делителей у некоторых чисел, которым он приписываете некие необычные с его точки зрения свойства, ну а на остальных 70 страницах, вывалил неполные списки делителей тех самых чисел о которых он ведёт речь, но для чего этот список так и не ясно. Так же в статье лейтмотивом пробегает мысль о том, что число 9 имеет перед всеми остальными некоторое привилегированное место  и всячески тянет за уши, эту самую девятку во все щели,  избегая мест, где эту девятку ни за какие уши не притянешь. Числу 3/2  тоже приписывает какие-то чудодейственные свойства, о которых автор почему то предпочёл не говорить.

 

На этом своё лирическое отступление я закончу и перейдём к разбору этой художественной беллетристике по существу:О числах Хоппа, слышу впервые. Как бы там ни было, в дальнейшем, для того чтобы все понимали о чём речь я эти числа  буду называть Х ([Хэ]) числа. Сначало обсудим вот это ваше утверждение:
Цитата olgaSamara ()
Для двузначных чисел, кажется единственным примером (я правда в этом не уверена) могут служить числа 81 и 54. Но в целом таких чисел бесконечно много.

Справедливости ради нужно отметить, что Петров такого утверждения не делает, что конечно ближе к математике его всё равно не делает. И так по определению Петрова, Х числа это:


К сожалению Петров не поясняет что он имеет в виду под словами «многозначные числа», поэтому у каждого будет возможность оценить насколько они (Х числа) многозначные. Строго это определение записывается так:Числа n,  для которых справедливо


являются Х числами. Здесь d -  это база ( как и далее), а Dsd (n) - это функция дающая сумму цифр числа n, взятого в базе d. Например


Дело в том, что таких Х чисел даже на первый взгляд конечное число, т. к. функция суммы цифр числа n асимптотична к  росту n. Показать это довольно просто, т. к. максимально возможная сумма  цифр числа n, равна

Здесь  Для десятичной системы счисления это означает, что максимальная сумма цифр числа n достигается когда n состоит полностью из одних девяток. Иными словами справедливо следующее нестрогое неравенство


(В дальнейшем будем пологать d=10 но всё сказанное будет справедливо для любой d) Функция f(n) =n растёт линейно.


Спрашивается а как растёт функция

?
Она асимптотична к f(n), т. к. предел отношения f(n) /g(n)  при росте n равен 0


На математическом «санскрите»,  это означает, g(n) =о(f(n)), читается это не менее непонятно: функция g(n) является "о" малым от функции f(n), в окрестности некой точки (обзавём её буквой Ж, я бы даже сказал полной Ж). На человеческом языке это означает, что после числа Ж, сумма цифр числа n9растёт медленнее чем само число n. Для тех, кто не понял, скажу ещё проще, - есть такая Ж, что все  Х < Ж.  График функции g(n) выглядит так



Пересечение f(n) и g(n),  при n>0, это и есть искомая Ж.



Т. е. этим мы опровергли слова автора данной темы и показали, что Х чисел конечное количество. Найдём эту Ж, для этого приравняем к нулю разность функций f(n) и g(n), и найдём корень. Мучать математической абракадаброй не буду,, можете мне поверить на слово, Ж=189



Конечно нужно уточнить что эту оценку можно снизить, но здесь я не монографию пишу а разбираю художественное произведение.  Получается что по Петрову многозначные числа это все  натуральные числа меньшие 189. (как тебе такое Илон Маск). Идём дальше. Петров пишет:



Это плохо, что  Петров не утруждает себя проверкой того, «исследованием» чего якобы занимается. И этому вероятно есть объяснение, Петров выбрал то что можно уложить в повествование о  вездесущей девятке, а то что не укладывается в эту афёру можно элегантно проигнорировать. Ну чтож Петров не проверял, а мы проверим. Вероятно многие знают что такое цифровой корень. Кто не знает объясняю, это некоторая функция ( обозначается Dr), которая итерационно применяет  функцию Ds, к заданному числу, до тех пор пока не выдаст одноразрядное число. Т. е.


например:


т. к.


В базе d, цифровой корень числа n равен остатку от деления n на d-1.Математики это записывают так


Это справедливо т. к.


и


Поэтому не важно в какую степень мы возводим базу. Например если возьмём трехзначное число, то


Отсюда сразу вытекает признак делимости n  на d-1. Т. е. Число n в базе d, делится на  d-1 тогда, когда, сумма цифр числа n делится на d-1.Для десятичной системы счисления, это признак делимости на 9, т. е. число n делится на 9 тогда, когда на 9 делится сумма цифр данного n. Именно так на человеческом языке звучит запись


Вооружившись этими элементарными знаниями, мы готовы решить все вопросы которые не решил Петров в своём «исследовании». Найдём все Х числа, благо мы выяснили что они все меньше 189.Сократим ещё область поиска Х чисел решив сравнение





Это значит,  что все  Х числа имеют вид 9n, 9n+1,9n+8.Зная этот факт, а так же то, что Х числа не превышают 189, можно легко отыскать их все, даже простым перебором, но  попробуйте всё-таки попробовать без перебора. Окунаться в модулярную арифметику с головой мы не будем, каждый сам может это сделать самостоятельно и убедится, что довольно просто обнаружить что Х числами являются всего 4 числа , а именно1, 54, 71, 81.По версии Петрова это многозначные числа)) Число 71 не укладывается в концепцию Петрова, т. к.



А числа 81 и 54, безусловно в какую степень не возводи они будут делится на 9т.к.


поэтому


и


делятся на 9. Другими словами


т. е.



Поэтому  на вопрос Петрова


Ответ столь же банален, как  и вопрос, зная признак делимости на  9, эти "занимательные" свойства, становятся тривиальщиной.   Всё тоже самое справедливо для числа 1 в двоичной системе, для числа 2 в троичной системе и т. д, Иными словами каждая цифра обладает этими «занимательными» свойствами в определённой системе счисления. На этом можно было бы закончить, но стоит разобрать ещё одно предположение выдвинутое Петровым, которое он неудасужился ни чем подкрепить. Звучит оно так:


На чём основано это предположение, кем выдвинуто не ясно. Петров даёт ссылочки


Можно подумать, что это предположение выдвинули авторы работ на которые ссылается Петров, но нет, изучив их, мы обнаруживаем, что там можно найти только определение чисел CA и SA.  Я здесь ограничусь лишь определением чисел SA, т. к  если мы выясним, что число 81^54-1 не входит в множество чисел SA, то оно не является и числом CA. По Рамануджану,  число n является числом  SA, если выполняется следующее неравенство:


На людской язык эти каракули переводятся так: Натуральное n является числом SA, если отношение суммы всех делительй n  (включая само n) к n больше отношения суммы всех делителей числа m к m, для любого m меньшего n. Сумма всех делителей числа n, взятых в степени k, определяется функцией


т. е например


это сумма делителей n, а

это их количество. Не буду откладывать в долгий ящик ответ на поставленный вопрос, сразу скажу что число 81^54-1 не входит в множество чисел SA, а следовательно не является и числом CA ( к слову в обратную сторону так рассуждать неверно). Контрпример число 840.т.е


т. к.

.
Любопытно то, что Петров даёт список делителей числа, 81^54-1, а зная их можно сразу сделать предположение что это число не является SA, но Петров почему-то в очередной раз делает по детски наивное и очевидно неверное предположение. Дело в том, что если бы Петров читал те работы на которые сам ссылается, то увидил бы в работе Рамануджана, что он вводит такие натуральные числа n, для которых при любом m<n выполняется неравенство


Т. е. число n,  количество делителей которого больше чем количество делителей любого (натурального) меньшего числа.Назавём эти числа, сильно избыточными. Так вот, из работы Рамануджана видно что «сильно избыточные» включают в себя числа SA. И здесь уже всё очевидно. Основная теорема арифметики гарантирует нам единственность разложения любого натурального на простые множители (факторизация) , т. е


Например число 360 фактаризуется следующим образом


Не нужно быть семь пядей во лбу, чтобы понять, что количество делителей числа n можно посчитать следующим образом


Например всё для того же числа 360, мы берём показатели степеней в его факторизации, прибавляем к каждому из них единицу а суммы перемножаем

.
Зная это, становится очевидным, что «сильно избыточные» числа являются произведением праймориалов. Праймориал это произведение первых n простых чисел, записывается он следующим образомНапример


Петров предоставил список делителей числа 81^54-1, а значит смог факторизовать его, а следовательно видя что это число не является произведением праймориалов (т. е. разброс простых в разложение большой) можно было сразу сделать вывод что оно не является «сильно избыточным» числом, а значит оно не SA и не CA. У числа 81^54-1 по заявлению Петрова 25 165 824 делителей.Проверять я это не буду, поверию на слово. Возьмём для контрпримера , это произведение первых 16 простых чисел в квадрате


это число на 64 порядка меньше числа 81^54-1, однако делителей у него


больше, следовательно уже из этого можно заключить что число 81^54-1 не SA и не CA, т. к, не является «сильно избыточным». На этом думаю достаточно обсуждать эту «статью», да и больше нечего .


Сообщение отредактировал Фигаро - Вторник, 14.09.2021, 21:32
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » О "числах Хоппа" (sml[theme]по Петрову и не только...)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.О "числах Хоппа"...1
2.Хитрый ребус на смекалку0
3.Улитка3
4.Мешки с зерном2
5.Неверный ход0
6.Лирический ребус0
7.Гидродинамика11
8.Существуют ли "прост...0
9.Изобретение священника14
10.Неархимедов мир.1
1.Rostislav5346
2.Lexx4728
3.nebo3612
4.Иван3061
5.никник2670
6.Kreativshik2472
7.Гретхен1807
8.Vita1408
9.erudite-man1342
10.Valet937
1.nebo123
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.MrCredo37
5.IQFun30
6.Pro100_Artyom27
7.marutand20
8.хан20
9.никник15
10.Vita13

ГлавнаяГостевая книгаFAQОбратная связьКоллегиФорум Эрудитов