условие красиво записанное профи теории чисел |vi-vj|=нод(vi;vj) (попрошу заметить ни в коем случае не мною) можно переписать в понятной всем другим форме, получим:
vi/vj=(nk+1)/nk, где nk некоторое натуральное число.
Race, спасибо, я очень смутно догадывался, что оно выглядит примерно так. Тем не менее, ответ на вопрос о количестве точек, которым я задался, лежит скорее в свойствах этого оператора, чем в его непосредственном смысле. Конечно, свойства следуют из смысла, но я не готов их сейчас выводить или изучать.
Сообщение отредактировал никник - Вт, 06.03.18, 13:52
что интересно, человек получивший красивую зависимость отношения скоростей (n+1)/n так же не разбирается в теории чисел, но для него это было необходимым и достаточным условием обгона только в точке старта. Как ни странно, но условие работает, для пары богатырей подойдут любые 2 последовательных числа. То есть всегда будут пересекаться в точке старта что пара с относительными скоростями 1 и 2, что 999 и 1000.
Race, в формальной логике есть несколько азов о которых стоит помнить, когда мы говорим о доказательствах. Верность частного утверждения не доказывает тотальное утверждение, но доказывает ложность тотального опровержения. Верность частного опровержения доказывает ложность тотального утверждения, но не доказывает ложность всех частных случаев составляющих тотальное утверждение. Верность общего утверждения равносильно верности всех частных утверждений его составляющих. И только тогда общее утверждение верно. Верность общего опровержения равносильно верности всех частных опровержений его составляющих. Из ложной посылки возможен, как верный, так и неверный вывод. Поэтому верность вывода не подтверждает истинности посылки. Вы, видимо, удивитесь, но и при некоторых непоследовательных скоростях богатырей возможно выполнение условий задачи. Таким образом это условие не является необходимым. (Мне кажется, что не является оно и достаточным, но не готов сейчас тратить время, чтоб это проверить) Также при "распределенном старте" (что соответствует условиям) мы можем произвольно задать точку на круге и подобрать такие скорости и начальные расстояния между богатырями при которых условия будут выполняться. А то, что человек, пораженный в сердце красотой некой формулы, может доказать ее верность при некотором им самим выбираемом наборе условий не новость. И это замечательно. Печально, когда он лишь на этом основании утверждает, что эта формула абсолютная.
никник) был бы Вам очень благодарен, если бы Вы привели хотя бы 1 пару богатырей, отношение скоростей которых было бы не равным (n+1)/n и при этом бы они пересекались только в точке старта. То что лично я не понял его доказательства, и соответственно не привожу его здесь, не значит что он его не привел.
[quote author=StrannikPiter link=topic=9089.msg75985#msg75985 date=1516101626] Рейс, я придумал, как доказать формулу V2/V1 = (m+1)/m Если скорости относятся как V2/V1, то пройденный путь (в кругах) в любой момент времени будет иметь то же отношение: V2/V1 = S2/S1 При этом первый обгон произойдет тогда, когда быстрый пройдет путь ровно на 1 круг больше. S2 = S1 + 1 V2/V1 = (S1+1)/S1 Если решить это уравнение относительно S1 (V2/V1 - константа), то мы получим, пройденный путь одним из богатырей к моменту первого обгона. Чтобы обгон прошел в заданной точке этот путь должен быть целым числом кругов. Это и накладывает требования на отношение скоростей.
Upd. То есть отношение скоростей должно быть возможно представить, как отношение путей (S1+1)/S1, где S1 - целое число, имеющее физический смысл, как число кругов перед первым обгоном.
Race, а в чем проблема? Вроде, если скорости 1,2 и 2 и 3 богатыря будут соответствовать формуле, то уже скорости 1 и 3 будут из нее выбиваться, но любая из этих пар это тоже пара, которая должна соответствовать условию. Там под спойлером, вроде, дана формулировка которая не эквивалентная определению последовательное распределение. Но мне правда, уже давно пора переключаться.
Сообщение отредактировал никник - Вт, 06.03.18, 16:59
Никник, от чего же? К примеру для 3 богатырей удовлетворит любая тройка последовательных чисел начиная с четного, к примеру: 2,3,4 2/3, 2/4=1/2, 3/4, но это не единственная комбинация их множество, к примеру 3,4,6 3/4, 1/2, 2/3. Для четырех и выше богатырей все несколько сложнее.
Race, видимо, начать надо с того, чтобы дать определение n, а заодно и "последовательным числам". Я вижу уже, что это не обязательно целое. Но если потихоньку мы дойдем до того, что n это любое, но не всякое число, то непонятно, чем формулировка n+1/n отличается от n.
n - произвольное целое число. Абсолютно любое. Но произвольным n мы можем задать отношение скоростей только для двух богатырей.
К примеру n=2 => v/u=3/2 Когда добавляется третья скорость w кроме v/u=(n+1)/n должно так же выполняться и v/w=(m+1)/m; w/u=(k+1)/2 соответственно числа v, u, w должны включать в себя некоторые общие делители обеспечивающие для каждой пары скоростей выполнение условия (n+1)/n
К примеру возьмем минимальную известную мне четверку:
8, 9, 10, 12 8=2*2*2 9=3*3 10=2*5 12=2*2*3 и рассмотрим пары не последовательно идущих чисел: 12/10=2*2*3/2*5=6/5 n=5 12/9=2*2*3/3*3=4/3 n=3 12/8=2*2*3/2*2*2=3/2 n=2 10/8=2*5/2*2*2=5/4 n=4 ну и последовательно идущие пары дадут: n=8; n=9, соответственно для четырех богатырей имеем 6 различных n: 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Сообщение отредактировал Race - Вт, 06.03.18, 18:12
Race, и что Вы получите в итоге из красивой формулы? Уравнение 33й степени? А потом я задам вопрос, например: "Докажите, что 8й богатырь обгоняет 16 в точке А и только в точке А, мне кажется что есть еще и точка В" и Вам придется доказывать не только, что оно имеет натуральное решение (это если оно его имеет, ну вроде имеет), но скорее всего Вам придется его решать полностью либо искать более простой путь для ответа на свой изначальный вопрос.
Сообщение отредактировал никник - Вт, 06.03.18, 18:26
