Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
А что тут доказывать? На а круге быстрейший обгоняет самого медленного, на а+б круге предпоследнего, на а+б+в круге следующего. И т.к. кол-во кругов у нас не спрашивается, мы вполне можем принять его и таким, чтоб и все остальные с лихвой успевали укладываться в цикл.
Это все так, осталось наложить жесткие условия обеспечивающие факт обгона только в единственной точке. Для каждого из 33 богатырей. Так как вопрос стоит в виде: Могут ли они ехать неограниченно долго? То кол-во кругов не ограничено, от слова вообще) Быстрейшего вы рассмотрели, осталось рассмотреть всех остальных со всеми остальными.
Подсказка:
Легче всего доказать используя индукцию. Сначала доказываем для двух богатырей, потом для 3, либо сразу для n и для n+1.
Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постояннымискоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
Очевидно точка должна быть в месте старта. Выберим любых двух богатырей А и В и обозначим их скорости соответственно как V1 и V2 ,будет очевидным, что более быстрый из них будет догонять медленного со скоростью Так же ясно что количество кругов намотаных А до встречи с В равно а В к этому времени наматает кругов таким образом . Основная теорема арифметики позволяет представить V1 как произведение двух множителей обозначим их х и у. Тогда сразу можно найти V2 Очевидно можно задать V3 как .x*y-x Т.к подобный вывод очевиден для любых двух богатырей из 33, следовательно задать 33 скорости удовлетворяющие условию возможно.
кругов
.
