А если поставить такую задачу: Пусть у нас есть набор скоростей (выраженных целыми) удовлетворяющий условия для n богатырей. а Σ(n) это сумма членов этого набора.Например в Вашем случае Σ(n)= 8640+8632+8631+8630+8628=34531. Найти f(n)=inf {Σ(n)) Например f(1)=1 f(2)=1+2=3 f(3)=2+3+4=9 f(n)=?
Было бы очень интересно.
Для 4рех, минимальный из известных мне набор 8,9,10,12 Хотя авторским решением его не получить.
v5-v4=2 v5-v3=3 v5-v2=4 v5-v1=5 v5=2*3*4*5*x v4-v3=1 v4-v2=2 v4-v1=3 v4=2*1*2*3*y v3-v2=1 v3-v1=2 v3=3*1*1*2*z v2-v1=1 v2=4*2*1*1*n v1=5*3*2*1*m Итого имеем некий набор: v5=2*3*4*5*x v4=2*1*2*3*y v3=3*1*1*2*z v2=4*2*1*1*n v1=5*3*2*1*m Но будет ли он минимальным, я не знаю. 2*3*4*5*x-2*1*2*3*y=2 2*3*4*5*x-3*1*1*2*z=3 2*3*4*5*x-4*2*1*1*n=4 2*3*4*5*x-5*3*2*1*m=5 2*1*2*3*y-3*1*1*2*z=1 По идее получили систему линейных уравнений которую требуется решить для x, y, z, n, m Є N.
Сообщение отредактировал Race - Сб, 10.03.18, 20:19
Для 4рех, минимальный из известных мне набор 8,9,10,12Хотя авторским решением его не получить.
Т.е для вашего набора Σ(4)=39. Но поверьте мне f(n)<39. Как не странно, но набор 8,9,10,12 получается именно из того, что Вы называете авторским решением.
8 9 10 12 2*3*4=24 22 21 20 Это по авторскому решению минимальный, если я правильно понял конечно, а мой минимальный: 12 15 16 18, полученный из зависимости 3n-3 3n 3n+1 3n+3, где n=(3k-1)/3 n,k принадлежат N.
Видите эту поверхность между красной и голубой волнами? Между ними фиолетовая. Неужели нельзя эту задачу решить алгебраически? Остановите меня, кто-нибудь! Мне уже и пучок света мерещится, и теория струн, и море, и упорядоченность хаоса
Нет, я пас. Я не математик. Один раз в школе участвовал в математической олимпиаде городской. Но не показал результата. Не мое. Самое удивительное, что это сейчас задача для олимпиады для 8 класса.
Race, Vita, ребята, гарманический и связанные с ним ряды очень даже здесь лезут. Но пока не об этом. Определим пока операции которые можно производить над наборами 1) Операция умножения: умножая набор на n, мы умножаем каждый член набора на n. (x,y,z,...,w)*n=(n*x,n*y,n*z,...n*w); n Заметим что умнажнение только увеличивает Σ(n), но тем не менее оно может быть полезным, поэтому если применять умножение то только на наиболее меньшее возможное n 2) Из пункта один, следует, что над наборами можно производить делене на общий делитель членов набора: (x,y,z,...,w)/n=(x/n,y/n,z/n,...,w/n) НОД набора будем обозначать Δ. Заметим, что для уменьшения Σ(n) лучше делить на Δ нежели на иной общий делитель, будем это называть сильной операцией деления 3) Композиция: Т.к уравнение (x*y*z*....w)/(x*y*z*...w-a) можно решить относительно а, приравняв выражение к любому сочетанию элементов набора, то таким образом из набора состоящего из n элементов можно применить композицию получив n-1 разных наборов состоящих из n+1 элементов. т.к композиция это набор сочетаний из n по k, то как и в комбинаторике выбор сочетания будем обозначать С(k,n), а саму операцию |. Заметим что сочетание С(n-1,n) уменьшает Σ(n) сильнее, чем иное сочетание данной композиции , назовём это сильной композицией. Пример1. (x,y,z)|C(1,3)=(x*y*z, x*y*z-x, x*y*z-y, x*y*z-z) Пример 2. (x,y,z)|C(2,3)=( x*y*z, x*y*z-x*y, x*y*z-y*z, x*y*z-x*z) Σ (x,y,z)|C(1,3)>Σ (x,y,z)|C(2,3) Теперь выдвиним две гипотезы: 1) f(n) можно получить только из f(n-1) 2) f(n) можно получить только путём последовотельного применения сильных операций. Будем придерживаться этих гипотез, и попробуем записать рекурентное выражение для поиска минимального набора из n элементов. Набор из одного элемента (x) очевидно будет минимален при x=1. Т.о f(1)=1 Минимальный набор из двух элементов очевидно будет выглядеть так (х,х+1), используя гипотезу (1), получаем набор (1,2) т.о f(2)=3 Получить минимальный набор из трёх элементов используя гипотезу (1), очевидно можно только предварительно умножив набор (1,2) на некое n, из замечания к операции умнажнения очевидно, что n=2. Запишем это преобразование так [1]*2 После этой операции имеем набор(2,4) Производим композицию ([1,2]*2)|С(1,2) получаем набор из трёх элементов (4,6,8) Производим деление на Δ и получаем Т.о f(3)=9 В дальнейшем производим композицию по одному из двух возможных сочетаний либо по С(1,3) либо по С(2,3) Если применить С(1,3) то получим набор Если например взять не [1] а [2] тогда удастся избежать умножения и получить следующий набор из 4 элементов Но мы все же будем действовать не противореча обоим гипотезам. Т.о получим следующий 4-х элементный набор Т.о f(4)= 35 Таким образом рекурентное выражения для поиска наименьшего набора из n элементов можно записать следующим образом.
Найти наименьшие наборы из 5 и 6 элементов предлагаю любому заитересованному. Скажу лишь, что vetrov, был очень близок к наименьшему набору из 5 элементов. Вопрос о явной формуле для f(n) остаётся открытым, вот здесь то и вступают в игру ряды, отголоски которых видны в рекурентном выражении представленном выше.
2*3*4*5*x-2*1*2*3*y=22*3*4*5*x-3*1*1*2*z=3 2*3*4*5*x-4*2*1*1*n=4 2*3*4*5*x-5*3*2*1*m=5 2*1*2*3*y-3*1*1*2*z=1 По идее получили систему линейных уравнений которую требуется решить для x, y, z, n, m Є N.
Данная система не разрешима в натуральных x,y,z,n,m, решая данную систему получим, что z/m= 5+1/3m≈5, в то время как отношение большего и меньшего элемента любого набора не может быть больше 2
