Порывшись в архиве наткнулся вот на эту задачу Креативщика. Изучив её у меня возникли два нетривиальных вопроса.
Вопрос первый:
Если в задаче Креативщика взять шары массами m и 100m, то количество соударений будет равно 31, а если возьмём массы m и 100²m то число соударений будет равно 314, а допустим при массах шаров m и 1008m, количество соударений будет равно 314159265. Всё бы ничего, если не вспомнить, что π=3,14159265358979323846... Да, да. Удивительно то, что если взять массы шаров m и 100ⁿm то посчитав количество соударений мы тем самым вычислим π с точностью до n+1 знака. Как столь удивительным образом в данной задаче возникает число π?
Второй вопрос:
Изменим условия задачи Креативщика следующим образом: заменим стену на шар массы 100m, остальные два шара возьмём массами m и 10m. Пусть тяжёлые шары движутся на встречу друг друга , а лёгкий находится (движется или нет не известно)между ними на прямой по которой они сближаются. Если исключить ситуацию при которой тяжёлые шары одновременно достигают лёгкий шар, то каково максимально возможное количество соударений в этой системе?
Как столь удивительным образом в данной задаче возникает число π?
Из теории рассмотрения движения двух шаров и неподвижной стенки, как движения внутри угла.
Если есть стенка и один шар занимает положение между ней и другим шаром, то движение шаров можно свести к движению конфигурационной точки с координатами, выраженными через массы шаров, внутри угла. Место соударения этой точки со сторонами угла соответствуют столкновению исходных шаров друг с другом, или столкновению со стенкой ближайшему к ней шару. Через координаты точки и уравнения прямой, находится угол через значения масс, а далее и число столкновений. Все вычисления есть в литературе. Для нас главная формула - число столкновений: N=-[-π/arctg√(m1/m2)].
Теперь, зная массы можно найти число столкновений. Например, m и 100m N=π/arctg0,1=π/0,1 радиан=31;
m и 1002 N=π/arctg0,01=π/0,01 радиан=314. И т.д.
Добавлено (29.09.2021, 13:18) --------------------------------------------- Второй вопрос
В первой задаче движение двух шаров и неподвижной стенки рассматривалось, как положение конфигурационной точки в углу на плоскости, при движении трёх шаров это положение происходит в двугранном углу, т.е. в трёхмерном пространстве. Для нахождения максимально возможного количества столкновений достаточно знать величину двугранного угла. И число столкновений между тремя шарами на прямой зависит только от соотношения их масс. Формула выводится из закона сохранения импульса и теории векторов. Угол равен: α=arccos√m1m3/[(m1+m2)(m2+m3)], В нашем случае m1=100m2, m3=10m2.
Число столкновений N=-(- π/α), α=arccos√1000m22/101m2*11m2=arccos√1000/1111=arccos√0,9=arccos0,95 α=0,101 π N≈10. Это максимально возможное столкновение в данной системе.
Сообщение отредактировал nebo - Ср, 29.09.21, 13:21
Спасибо nebo, за участие, в принципе Вы правы, однако есть небольшая ошибка в вашем ответе, на которую стоит обратить внимание. Ошибки конечно допускают все, либо непреднамеренно либо намеренно. Напримерв посте #2 в этой задаче можно встретить вот такое выражение
или например такое
Но эти технические ошибки ни на что не влияют, они лишь показывают, читал кто-нибудь данное сообщение или нет.Возможно вы тоже практикуете такой подход, оставляя реперные точки в своих сообщениях.Как бы там ни было, но я позволю себе вас поправить, дабы у случайных посетителей данной темы не возникли затруднения в понимании.Разберём сначала второй вопрос задачи, а потом перейдём к допущенной вами ошибке.Обозначим координаты шаров массами m1, m2, m3 (m2 самый лёгкий), через x1, x2, x3 соответственно.Вместо того чтобы писать кучу уравнений чтобы проследить эволюцию системы этих трёх точек в одномерном пространстве (на прямой), проще рассмотреть эволюцию одной точки "А" в трёхмерном пространстве.Эту точку мы зададим следующим образом
где:
Здесь может возникнуть вопрос, почему бы просто не взять прежние координаты, зачем нужен этот коэффициент зависящий от m? На этот вопрос я отвечу позже (каждый может остановиться и подумать над этим вопросом самостоятельно)Теперь, нужно понять, что если какие-то два шара соударяются, это означает что
или
И в трехмерном пространстве эти уравнения задают плоскости
соответственно. Так же следует уяснить, что координаты точки "А" всегда удовлетворяют неравенствам
и дело в том , что система этих неравенств задаёт двугранный угол α , гранями которого служат плоскости
. Таким образом, задав координаты шаров мы получили точку "А" которая движется в двугранном углу, где соударение шаров соответствует касанию точки "А" и одной из плоскостей, при этом точка отражается от плоскости по закону "угол отражения равен углу падения". Конечно особо вдумчивые форумчане (и не только) недоумевая спросят,- а какого хрена точка "А" движется соблюдая этот закон, она в принципе может двигаться как угодно? А дело как раз в том, как мы задали координаты точки "А", если бы оставили просто иксы, то действительно, точка двигалась бы иначе, но благодаря коэффициентам зависящим от m, наша точка ведёт себя именно так, - под каким углом падает на плоскость под таким и отражаетсяСхематично поведение точки можно изобразить примерно так
Здесь, я ввёл вектора, которые соединяют начальное положение точки "А" и положение точки "А" на плоскости.Другими словами, количество соударений шаров равно количеству отражений точки "А" от плоскостей.Теперь вместо чисто физической задачи, мы получили чисто геометрическую задачу.Из геометрии, мы получим , что угол α задаётся векторами:
и
От сюда следует, что
Посчитать количество соударений, можно довольно просто, для этого необходимо "распрямить" угол α, т.е мы просто делим пространство плоскостями, каждая пара которых создаёт двугранный угол α, а начальный вектор движения точки "А", преобразуем в прямую и считаем, сколько плоскостей пересекает данная прямая
От сюда и возникает число π, так как считая число соударений шаров, мы по факту считаем на сколько целых углов α можно разделить 180° , т.е.
Эти скобки означают взятие целого числа не превышающего данноеНо здесь стоит отметить что если
То последняя плоскость, лежит в той плоскости о которую точка "А" касается изначально, поэтому при выпрямлении угла, прямая не может пересечь эту плоскость.Таким образом,максимальное количество соударений шаров (Smax) равно
Именно из- за того, что α может нацело делить 180, в конечное выражение приходится вводить минусы. Окончательно максимальное количество соударений:
Где
И вы nebo, всё верно посчитали.Ответ на второй вопрос данной задачи
И здесь стоит обратить внимание на то, что мы считали максимально возможное количество соударений. Сколько их будет конкретно, сказать невозможно, т.к. нам не дана конкретная информация о лёгком шаре (движется или покоится).Это очень важное уточнение, т.к. в задаче Креативщика, мы знаем о каждом шаре ,движется он или покоится, и благодаря этому можем конкретно сказать сколько будет соударений.Из полученной формулы достаточно легко получить формулу для подсчёта соударений двух шаров и стены, мы просто можем принять, что третий шар покоится и имеет бесконечную массу, тогда у нас получится, что угол α равен
Вы выразили через тангенс
что собственно эквивалентно полученному мной выражению, но ваш конечно попроще.В ответе на первый вопрос вы пишите,
Цитатаnebo ()
Для нас главная формула - число столкновений:N=-[-π/arctg√(m1/m2)].
однако можно заметить, что если вернуться к задаче Креативщика, то Ваша формула даст ответ
Хотя вы сами там дали ответ 15.И 15 это верный ответ.Можно конечно сказать что формула верна, это просто вы ошиблись в расчётах, однако это не так.Рассмотрим задачу Креативщика, в которой шары имеют одинаковую массу, тогда эту задачу можно решить в уме. Для удобства покрасим движущийся шар в жёлтый цвет а покоющийся в красный, тогда можно себе представить, как жёлтый налетает на красный
Ударяясь останавливается, а красный начинает двигаться в сторону стены
Ударяясь о стену летит обратно ударяется о жёлтый и останавливается, а жёлтый улетает прочь
Итого у нас всего три соударения, а ваша формула даёт результат
Что, очевидно не верно, авсё потому, что формула даёт нам максимально возможное количество соударения в системе, (стена, шар, шар) Четыре соударения довольно легко представить (попробуйте над этим подумать).В задаче же Креативщика, и в первом вопросе данной задачи все параметры известны конкретно, и мы можем конкретно посчитать количество соударений.В данном случае, следует использовать формулу
Либо если через тангенс, то
Как здесь появляется эта единичка, читающий данные каракули посетитель, может обдумать самостоятельно, если вы додумаетесь до ответа, то это будет означать, что вы поняли всё, что написано в данном сообщении.Спасибо nebo ещё раз за ответ и за участие, с меня награда.
ещё раз за ответ и за участие, с меня награда.
