Race, зачем Вы спрашиваете, если не читаете ответов? Хотите повозиться - возитесь, однако, я не понимаю, почему не сумев верно подсчитать радиус 2го круга т. синусов, которую Вы, очевидно, знаете, Вы рассчитываете на успех в способе, который и не очень знаете.
Я прочитал ответ, в школе увекался математикой, потом забросил. Прошло почтт 20 лет,пытаюсь что то вспомнить) если смогу построить, значиь смогу вычислиь площадь не теоремой декарта, а самостоятельно)
Рассуждая логически, может быть лишь 2 точки отвечающих заданным условиям, а именно: равноудаленные от 3 окружностей, 1 бесконечной (квадрат) и 2 соприкасающихся. Легче всего такую задачу решить при помощи программирования, решение элементарно, но хочется построить все таки геометрическим способом.
Задача решается))) Но конечно без теоремы декарта сложновато))) Думаю к вечеру домучаю) пока промежуточное построение, с допущенной в начале ошибкой, сейчас все перестраивать.
Ну что же, попробуем снова решить эту задачу. Я не буду использовать теорему Декарта для окружностей, попробую построить искому окружность. а так же определить её радиус самостоятельно. Дано: Производим построение. 1. Строим квадрат со стороною 10, вписываем в него окружность. Центр окружности находится на пересечении диагоналей квадрата (рис. 0). Рис. 0. Обозначаем углы квадрата A,B,C,D и центр пересечения диагоналей O. 2. Строим вторую окружность. Обозначим первую окружность как a, вторую b, третью c. Так как и а и b касаются отрезков AD и AB, то очевидно что AD и AB принадлежат касательным к этим двум окружностям, так как окружности имеют общие касательные то центры окружностей расположены на 1 прямой, которая в свою очередь проходит через пересечение касательных, в нашем случае это диагональ квадрата АС. Точка в которой а касается b так же находится на этой прямой. Очевидно что ею является точка пересечения а с АС, назовем её E. Проведем через точку Е касательную к а. Касательная будет перпендикулярна к отрезку ОЕ. Из точки Е строим окружность случайного радиуса r. Точки пересечения этой окружности с АС назовем Е1 и Е2. Из точек Е1 и Е2 строим окружности радиусом 2 r. Точки пересечения окружностей 2r обозначаем как Е3 и Е4, строим прямую соединяющую Е3 и Е4 назовем её d, продолжаем её до пересечения с AD и AB. Обозначаем точки пересечение прямой d с отрезками AD и AB соответственно K и F (Рис 1). Рис. 1. Получили равносторонний прямоугольный треугольник AKF, с прямым углом KAF и равными сторонами AK и AF, соответственно углы AKF и KFA равны между собой и равны 450. Величину радиуса окружности b можно определить алгебраически, для этого нам необходимо определить величину сторон треугольника AKF. Учитывая что длина отрезка АB=BC получим lAE=lAO-lEO lAO=sqr(2lAB2)/2=5sqr2=7.071 см. lAE=5sqr2-5=5(sqr2-1)=2.071 см. Так как АЕ перпендикулярен KF то согласно теоремы синусов получим. lAE/sin450=lAF/sin900=lEF/sin450 соответственно получим: lAE=lEF=5(sqr2-1) lAF=5(2-sqr2) lKF=2lEF=10(sqr2-1) Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника получим по формуле: rb=(a+b-c)/2, где a и b -катеты, а с - гипотенуза. rb=(2lAF-lKF)/2=5(3-2sqr2)=0.858 см. Теперь непосредственно построим саму вписанную окружность. Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как АЕ является биссектрисой угла KAF построим биссектрису угла AKF для этого построим окружность произвольного радиуса в центре с точкой K, пересечение окружности с AK и AF обозначим соответственно К1 и К2, после чего строим 2 окружности с радиусами равными длине отрезка К1К2 с центрами в точках К1 и К2 прямая проведенная через точки пересечения построенных окружностей будет делить угол AKF на 2 равные части и в точке пересечения с прямой АЕ будет находиться центр вписанной окружности b назовем эту точку М. Проводим проверку, измеряем длину rb=0.8579 см. (Рис 2а и 2б). Ура получили правильный результат. Рис 2а. Рис 2б.
3. Построим окружность с, касательную к окружностям а и b и к прямой включающей отрезок AB. В этом нам поможет решение задачи Аполлония в целом и эта замечательная статья в частности: Задача Аполлония
Приступим. 3.1. Необходимо построить окружность касательную к двум окружностям и прямой, что является частным случаем задачи Аполлония. Допустим, что мы построили окружность c, касающуюся окружностей a и b внешним образом и прямой АВ. Увеличим радиус построенной окружности на величину, равную радиусу b меньшей из данных окружностей. Тогда, очевидно, она пройдет через центр меньшей окружности и будет касаться «сжатой» на величину rb второй данной окружности, а также прямой, полученной из данной параллельным сдвигом на ту же величину. Мы видим, что для расширенной указанным образом окружности c известны точка (центр окружности b), через которую она проходит? а также окружность и прямая, которых она касается. Произведем указанные построения (Рис 3), не буду вдаваться в подробности, используемые методы простейшей геометрии. Уменьшенную на rb окружность а, назовем а2, а прямую полученную переносом прямой n. Рис 3. 3.2. Получили задачу где необходимо построить окружность касательную к окружности, прямой и точке (а2, n, M), что также является частным случаем задачи Аполлония. Пусть M, n, a2 – данные точка, прямая и окружность, c – искомая окружность, K и L – точки ее касания с а2 и n, соответственно. При гомотетии с центром K, переводящей c в a2, прямая n перейдет в параллельную ей касательную к а2 (в нашем случае касательной будет принадлежать отрезок ВС). Поэтому точка L перейдет в такую точку N окружности а2, что выходящий из нее диаметр перпендикулярен к a. Обозначим второй конец этого диаметра через J, а точку, в которой он при продолжении пересекает n, через G. Пусть X – точка пересечения прямой MN с окружностью c. Точки G, J, L и K лежат на некоторой окружности, так как угол JGL = 90° и угол JKL = JKN = 90°. Поэтому NG·NJ = NK·NL. Точки X, M, L и K лежат на одной окружности по построению, так что NK·NL = NX·NM. Поэтому точку X можно построить из соотношения NX·NM = NG·NJ, в котором нам уже известны все точки, кроме X. Проще всего это сделать, проведя еще одну окружность – через M, J и G; X – это точка ее пересечения с NM. Построим искомую окружность, учитывая что у нас есть 2 её хорды GJ и GM (рис 4а и рис. 4б) Рис 4а. Рис 4б. Теперь остается провести окружность, касающуюся a2, через две известные точки M и X и прямой n.
3.3. построим окружность с она проходит через точки М и Х и касается окружности а2. Проведем через М и Х произвольную окружность c', пересекающую а2 в точках V и W, и обозначим через P точку пересечения прямых MX и VW. Далее проведем через P касательную к окружности a2 и обозначим через Y точку касания. Тогда окружность c, проходящая через M, X и Y, будет искомой. Действительно, степень точки P относительно а2 равна PУ2 = PW·PV. Применяя теорему о степени к окружности a2 и двум ее секущим PVW и PMX, находим, что PW·PV = PM·PX. Отсюда следует, что PY2 = PM·PX, а значит прямая PY касается и окружности c, т. е. является общей касательной окружностей a2 и c. Следовательно, c касается a2 (в точке Y). Рис.5. Рис. 5. 3.4. Построим искомую окружность с, не забывая про то, что она увеличена. МХ хорда с, отложим серединный перпендикуляр. Центр с будет находится на линии которой принадлежит YО, соответственно продолжаем YO до пересечения с серединным перпендикуляром хорды МХ, это и будет центр искомой окружности с (Рис. 6). Рис. 6. 3.5. Так как центры окружности с и увеличенной окружности с совпадают то строим НАКОНЕЦ ТО саму окружность с. (Рис. 7.) Рис. 7. Измерив радиус видим, что он равен 0,429 см. Соответственно площадь равна 0,578 см2. Сами вычисления произведу уже завтра) Так как мы произвели построение то это не будет проблематичным, на сегодня уже нету сил)
