3. Построим окружность с, касательную к окружностям а и b и к прямой включающей отрезок AB.
В этом нам поможет решение задачи Аполлония в целом и эта замечательная статья в частности:
Задача АполлонияПриступим.
3.1. Необходимо построить окружность касательную к двум окружностям и прямой, что является частным случаем задачи Аполлония. Допустим, что мы построили окружность c, касающуюся окружностей a и b внешним образом и прямой АВ. Увеличим радиус построенной окружности на величину, равную радиусу b меньшей из данных окружностей. Тогда, очевидно, она пройдет через центр меньшей окружности и будет касаться «сжатой» на величину r
b второй данной окружности, а также прямой, полученной из данной параллельным сдвигом на ту же величину. Мы видим, что для расширенной указанным образом окружности c известны точка (центр окружности b), через которую она проходит? а также окружность и прямая, которых она касается. Произведем указанные построения (Рис 3), не буду вдаваться в подробности, используемые методы простейшей геометрии. Уменьшенную на r
b окружность а, назовем а2, а прямую полученную переносом прямой n.
Рис 3.
3.2. Получили задачу где необходимо построить окружность касательную к окружности, прямой и точке (а2, n, M), что также является частным случаем задачи Аполлония.
Пусть M, n, a2 – данные точка, прямая и окружность, c – искомая окружность, K и L – точки ее касания с а2 и n, соответственно. При гомотетии с центром K, переводящей c в a2, прямая n перейдет в параллельную ей касательную к а2 (в нашем случае касательной будет принадлежать отрезок ВС). Поэтому точка L перейдет в такую точку N окружности а2, что выходящий из нее диаметр перпендикулярен к a. Обозначим второй конец этого диаметра через J, а точку, в которой он при продолжении пересекает n, через G. Пусть X – точка пересечения прямой MN с окружностью c. Точки G, J, L и K лежат на некоторой окружности, так как угол JGL = 90° и угол JKL = JKN = 90°. Поэтому NG·NJ = NK·NL. Точки X, M, L и K лежат на одной окружности по построению, так что NK·NL = NX·NM. Поэтому точку X можно построить из соотношения NX·NM = NG·NJ, в котором нам уже известны все точки, кроме X. Проще всего это сделать, проведя еще одну окружность – через M, J и G; X – это точка ее пересечения с NM.
Построим искомую окружность, учитывая что у нас есть 2 её хорды GJ и GM (рис 4а и рис. 4б)
Рис 4а.
Рис 4б.
Теперь остается провести окружность, касающуюся a2, через две известные точки M и X и прямой n.