Возьмём обычный треугольник. По рисунку видно, что он даже не равнобедренный, и уж тем более не равносторонний.
Проведём через сторону AC серединный перпендикуляр. Он пересечёт сторону в точке D.
Проведём из вершины В биссектрису. Она пересечёт серединный перпендикуляр в точке О.
Соединим вершины А и О; С и О.
Проведём из точки О высоты к сторонам АВ и ВС.
Рассмотрим треугольники ЕВО и FBO. Они прямоугольные, у них общая сторона ОВ и углы возле вершины В равны. Следовательно, они равны по трём углам и стороне. ЕВ=BF.
Рассмотрим треугольники AOD и COD. Они прямоугольные, у них общая сторона OD, AD=DC по построению. Значит, они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам.
Рассмотрим треугольники ЕОА и FOC. Они прямоугольные, у них АО=СО и EO=FO. Значит, они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам. АЕ=СF.
BE+EA=ВF+FC => треугольник ABC равнобедренный.
Проделывая аналогичную операцию с треугольником ВСА, можно доказать, что он также равнобедренный. Значит, треугольник АВС равносторонний.
Конечно, можно сказать что биссектриса не обязательно пересечёт серединный перпендикуляр внутри треугольника. Но получается, что для тех случаев, когда она пересечёт внутри, доказательство работает, не так ли? Значит, ошибка не в этом.
P.S. Мне задал эту задачу знакомый, я её пока что не решил.
P.P.S. Ничего себе, сколько тифки занимают! В 70 раз больше jpeg'a, и это при том, что тиф - чб расширение.
Рассмотрим треугольники ЕВО и FBO. Они прямоугольные, у них общая сторона ОВ и углы возле вершины В равны. Следовательно, они равны по трём углам и стороне. ЕВ=BF.
они равны по гипотенузе OB и острому углу EBO=FBO
а так вроде все верно...
тока еще надо рассмотреть все возможные варианты с пересечением биссектрисы и серединного перепендикуляра:
серединный перпендикуляр и биссектриса встречаются вне треугольника, а
а) перпендикуляры OE и OF попадают на стороны б) перпендикуляры OE и OF попадают на продолжение сторон в) один из перпендикуляров OE и OF попадает на сторону, а второй на продолжение стороны
если мне еще 3 случая докажите, то я поверю!
или прийдется Перельмана звать, чтоб доказал, что это не так, хотя я думаю, что мы сами справимся с этим недоразумением
Quote (Lazer)
Но получается, что для тех случаев, когда она пересечёт внутри, доказательство работает, не так ли? Значит, ошибка не в этом.
Если у тебя все сошлось, значит треугольник, действительно был взят равносторонний а вот когда рассмотрим все возможные варианты и там также все будет легко доказываться, то это действительно так... я считаю, что ошибка скрыта именно в этом! ведь если один из возможных случаев не сработает, то все, теорема не доказана!
P.S. Лучше сохранять в gif или в png, если в фотошопе фильтром поработать и установить при сохранении 2 цвета P.P.S. перезалил картинки
Существует три признака равенства треугольников: по трём сторонам, по углу и двум сторонам возле него, по двум сторонам и углу между ними. Всё остальное - это их следствия. Соответственно, в прямоугольном треугольнике два угла и одна сторона однозначно задают его, потому что зная два угла можно вычислить третий и работает признак равенства по стороне и двум углам. Так что это не ошибка - можно было написать и так, как ты говоришь.
Quote (Rostislav)
а) перпендикуляры OE и OF попадают на стороны б) перпендикуляры OE и OF попадают на продолжение сторон в) один из перпендикуляров OE и OF попадает на сторону, а второй на продолжение стороны
Да-да, я тоже про это думал. Но, думаю, возможно существует подобное доказательство и для этих случаев, хотя я их не нашёл. Поэтому возьмём конкретный пример: биссектриса пересекает сп внутри треугольника. Для случаев попадания высот не на стороны решение вроде не сильно поменяется, хотя я могу и ошибаться.
Quote (Rostislav)
Если у тебя все сошлось, значит треугольник, действительно был взят равносторонний
Если треугольник будет равнобедренный, то точка О будет совпадать с точкой D, а по решению это не так, значит изначально я брал произвольный треугольник.
Quote (Rostislav)
P.S. Лучше сохранять в gif или в png, если в фотошопе фильтром поработать и установить при сохранении 2 цвета
Да лучше в обычный жпг - и никакой головной боли.
Quote (Rostislav)
P.P.S. перезалил картинки
Сами картинки там с радикала и в нормальном формате, только для скачивания они корявые.
Непонятно только, почему тиф столько занимает.
Quote (Valet)
Полностью согласен! И, как мне кажется, это самый распространённый вариант решения.
по трём сторонам, по углу и двум сторонам возле него, по двум сторонам и углу между ними
2 раза одно и то же написал наверно имел в виду по стороне и прилежащим к ней углам
Quote (Lazer)
Следовательно, они равны по трём углам и стороне. ЕВ=BF.
просто нет такого признака, вот я и написал
Quote (Lazer)
Если треугольник будет равнобедренный, то точка О будет совпадать с точкой D, а по решению это не так, значит изначально я брал произвольный треугольник.
если у тебя в док-ве вышло, что треугольник р/б, значит треугольник был взят р/б построению доверять нельзя, доверять надо док-ву, а оно вроде верное
Quote (Rostislav)
в) один из перпендикуляров OE и OF попадает на сторону, а второй на продолжение стороны
вот с этим вот проблемы... не получается... может в этом и есть загвоздка...
Биссектриса не может пересекать перпендикуляр в треугольнике если он не равносторонний(тогда она с ним совпадает): пусть ВО и АС пересекаются в точке N, и АВ<ВС. Тогда по свойству биссектрисы АВ/АN=BC/CN; AB<BC => AN<CN, значит точка N лежит на AD и в одной полуплоскости с точкой B относительно серединного перпендикуляра,значит отрезок ВN не пересекает перпендикуляр
В 70 раз больше jpeg'a, и это при том, что тиф - чб расширение.
Полностью согласен! И, как мне кажется, это самый распространённый вариант решения.
Не знаю, как он глаза не режет. Или он не такой уж и бред? 
