Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 3 из 3
  • «
  • 1
  • 2
  • 3
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Формат серии А. (sml[theme])
Формат серии А.
ФигароДата: Пн, 29.11.21, 22:48 | Сообщение # 21
Просветленный
Сообщений: 267
Награды: 13
Совы: 5
никник, хорошо.

ʎʞнɐнԑи ɐн ʎdǝфɔ
৭ꓕɐʚиhɐdoʚыʚ
ꙕǝᥕʎ
 
никникДата: Вт, 30.11.21, 02:08 | Сообщение # 22
Гений
Сообщений: 2707
Награды: 397
Совы: 15
1, 6, 35, 204, 1189, 6930
хi+1=6xi-xi-1
Обозначим "к" порядковый номер х
хк=6к-1 -6к-2
х1=1=6к-1
х2=6х10=6-0=6=6к-1- (к-2)6к-3
х3=6х21=6(6х10)-х1=62х11=6к-1-(к-2)6к-3
х4=6х32=6(36х11)-((62х11)+х1)/6=(63х1-6х1)-6х1=63х-2*6х=6к-1-(к-2)*6к-3
х5= 6(63х1-6х1-6х1)-(62х11)=64х1-62х1-62х1-(62х11)=64х-3*62х+х=6к-1-(к-2)*6к-3-  (к-6)6к-5(?) +(к-4)6к-5?
Очень напоминает интеграл, что весьма логично, т.к. это собственно и есть интеграл. Но немножко не бьется...
х6=65х-3*63х+6х -(63х-2*6х)=65х-4*63х+3*6х=6к-1-(к-2)6к-3-   ?(к-9)6к-5..

Добавлено (30.11.21, 23:22)
---------------------------------------------
6к-1-(к-1)к-3(к-2)
6к-1-(к-1)к-3(к-2)


Добавлено (03.12.21, 04:45)
---------------------------------------------
хi+1=6xi-xi-1= хi+1=6(6xi-1i-2)-6xi-2+xi-3= 6(6xi-1-2xi-2)-xi-3=6(6(6xi-2-xi-3)-2(6xi-3-xi-4))+(6xi-4-xi-5)=

6(6(6xi-2-3xi-3)+2xi-4))+(6xi-4-xi-5)=6(6(6xi-2-3xi-3)+2xi-4))+xi-3=216xi-2-108xi-3+72xi-4+xi-3=144xi-2+325xi-3=

xi=25xi-2+54xi-3
хi+1=6xi-xi-1=25xi-1+54xi-2=144xi-2+325xi-3

9

Добавлено (04.12.21, 06:04)
---------------------------------------------
n=-1/2+sqr(1/4+2xi2)  4x/(8x^2+1)^1/2
x2+x|2=(n+x)(n-x+1)|2
x2+x=(n+x)(n-x+1)=n2-x2+n+x=(-1/2+sqr(1/4+2x2))2-x2-1/2+sqr(1/4+2x2)+x
2x+1


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.

Сообщение отредактировал никник - Сб, 04.12.21, 01:10
 
ФигароДата: Пн, 06.12.21, 00:42 | Сообщение # 23
Просветленный
Сообщений: 267
Награды: 13
Совы: 5
Цитата никник ()
xi=25xi-2+54xi-3

Нет никник,

.
Давайте я ещё раз уточню, - необходимо найти формулу вида



где xi - это  i-ый член рекуррентной последовательности:

1, 6, 35, 204, 1189, 6930, …
Рекуррентное соотношение вы определили верно. Теперь мы знаем что шишку и данную задачу объединяет рекуррентное соотношение вида


где a и b  - целые числа.

Вообще любое  число  t представимое цепной дробью



можно представить рекурентным соотношением. Ведь если брать подходящие дроби







и т.д., то понятно, что подходящая дробь δs , s > 1, получается из дроби δs-1 заменой в записи выражения δs-1 буквы qs-1 выражением qs-1+1/qs . Когда мы подсчитаем каждую «многоэтажную» дробь, то получим несократимую «одноэтажную»  дробь


Если взять для удобства (и не только, но на этом я не буду останавливаться) P0=1, а Q0=0 (делить на ноль не нужно, это формальное соглашение),  то получим:


Далее:


Затем:


и. т.д. Видно что получаем рекуррентное соотношение:


И для того чтобы посчитать подходящие дроби √2,  не обязательно вручную считать каждую «многоэтажную» дробь, достаточно набора остатков:


Такой набор математики называют континуантой, и именно континуантой представляют цепные дроби, т.е. в серьёзной математической литературе вы вместо вот такой записи:


скорее всего увидите вот такую запись:


Но это уже другая история, главное  мы видим, что  всегда упираемся в рекуррентное соотношение. В нашем случае как я уже говорил, имеем рекурентную последовательность второго порядка.
Числа Фибоначчи тоже описываются рекурентным соотношением второго порядка,  для этих чисел есть явная формула (формула Бине) для нашей последовательности, очевидно тоже должна быть формула.  Вот вы же изначально использовали формулу


О ней в школе узнают, возможно с ней просто знакомят, но иногда и показывают как выводят.

Вы помните как выводят её?
 Ведь последовательность натуральных чисел это рекурентная последовательность второго порядка,  вида:


В свою очередь сумма первых i натуральных чисел образует последовательность:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 37, …. Которая является рекуррентной последовательностью третьего порядка, вида:


И явную формулу в замкнутом виде для этой последовательности вы хорошо знаете



Конечно вывести  формулу для рекуррентной последовательности можно разными способами, например с помощью производящей функции, вы уже о таких функциях слышали и знаете как её найти, этот метод можно на примере увидеть здесь, в разделе «Примеры решений задач методом производящих функций».

Родоначальник данного метода, Эйлер, поэтому ещё больше примеров в доступной форме можно найти у него вот здесь, на стр 197-218.

Производящую функцию Эйлер в этой работе называет дробью рекуррентного ряда, а  явную формулу в замкнутой форме для рекуррентной последовательности, общим членом ряда.

Другой способ нахождения общего члена (Эйлера перечитал)  можно найти здесь, стр 179-201.

Если не разберётесь, пишите, я постараюсь более просто всё объяснить в рамках одного сообщения.
Прикрепления: 6963409.png(4.6 Kb)


ʎʞнɐнԑи ɐн ʎdǝфɔ
৭ꓕɐʚиhɐdoʚыʚ
ꙕǝᥕʎ


Сообщение отредактировал Фигаро - Пн, 06.12.21, 00:49
 
никникДата: Чт, 09.12.21, 07:15 | Сообщение # 24
Гений
Сообщений: 2707
Награды: 397
Совы: 15
Да, Фигаро, спасибо, признаю сложновата для меня оказалась задача. Но с Вашей подсказкой попробую ее дорешать. Дайте мне еще пару дней, если получится решить не заглядывая в ссылки. Ну или неделю, если с 50 стр. Эйлера.
xi+1=2xi-xi-1=xi+1
xi-xi-1=1
xi-xi-1=k
2xi-xi-1=xi+k
6xi-xi-1=xi+k
5xi-xi-1=k

xi+1=2xi-xi-1=xi+1=2xi-xi+1=2xi-(xi-1+1)+1
xi+1=2xi-xi-1=5xi+1=6xi-xi+1=6xi-(5xi-1+1)+1
xi+1=2xi-xi-1=4xi+1=6xi-2xi+1=6xi-2(4xi-1+1)+1

xi+1=6xi-xi-1=5,8xi+k=6xi-0,2xi+r=6xi-0,2(5,8xi-1+k)+r
l+c=6 lc=1
l+1/l=6
l2-6l+1=0
D=32
l=(6+-sqr32)/2=3+-2sqr2

Добавлено (09.12.21, 07:32)
---------------------------------------------
Цитата никник ()
Вы помните как выводят её?
сумму пар от краев умножают на количество пар.

Добавлено (09.12.21, 11:11)
---------------------------------------------
хi+1=(3+sqr8)xi=(3+sqr8)xi+xi/(3+sqr8)-xi-1=6xi-xi-1
xi-1=xi/(3+sqr8)
х1+n=(3+sqr8)nx1 +
х1+n=(3-sqr8)nx1
А где ошибка не пойму. Кстати натуральный ряд таким макаром сводится к xi+1=xi .  То есть константу видимо выкинул зря
х1+i=(3+sqr8)xi +r=


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.

Сообщение отредактировал никник - Чт, 09.12.21, 07:32
 
ФигароДата: Вс, 12.12.21, 19:43 | Сообщение # 25
Просветленный
Сообщений: 267
Награды: 13
Совы: 5
Цитата никник ()
Дайте мне еще пару дней, если получится решить не заглядывая в ссылки. Ну или неделю, если с 50 стр. Эйлера.
Нет проблем, я подожду
Цитата никник ()
А где ошибка не пойму


Смотрите пояснение и  P.S.

Цитата никник ()
сумму пар от краев умножают на количество пар.
Понятно, значит вас не знакомили с общим методом.

Вам видимо рассказывали историю про Гаусса, а с общим методом не знакомили, ну ничего страшного, вы узнаете его здесь.

Очень большая просьба, пояснять вновь введенные обозначения.

Не уверен, что посетитель данной темы поймёт откуда вы взяли это уравнение
Цитата никник ()
l+c=6 lc=1l+1/l=6l2-6l+1=0D=32l=(6+-sqr32)/2=3+-2sqr2
поэтому ещё одна просьба,  все преобразования и выводы расписывать более подробно, а то это приходится делать мне.

Пояснение для посетителя:

Никник по видимому руководствовался следующими соображениями:

Допустим есть некое рекуррентное соотношение порядка k:


Также пусть есть некоторая геометрическая прогрессия


Заметим, что


Подставляя эти значения в (1), получаем


Откуда


Это уравнение называется характеристическим уравнением рекуррентного соотношения (1).Если α, какой-либо корень характеристического уравнения, то


Таким образом если  имеем корни характеристического уравнения (2)


То имеем k геометрических прогрессий,


удовлетворяющих рекурентному соотношению (1).И так, резюмируя сказанное.

Если у вас есть  некая последовательность, которая удовлетворяет рекуррентному соотношению вида


И вы хотите найти  формулу вида


То первым шагом на пути вывода данной формулы, будет составление характеристического уравнения вида:


И нахождение всех его корней.

.
Никник  первый шаг сделал, осталось совсем чуть чуть до вывода формулы.

Если кто не понял, то применительно к нашей задаче, у нас есть рекурентная последовательность

1,6,35,204,1189,6930,..

Которая удовлетворяет следующему рекурентному соотношению.


Для нахождения формулы вида


мы составляем характеристическое уравнение, в нашем случае оно имеет следующий вид


Находим все корни


И здесь до вывода формулы остаётся совсем немного.

P.S. Корнем характеристического уравнения для  последовательности Фибоначчи, является золотое сечение (φ).

И известно что:


Для последовательности

1,2,5,12,29,70, 169….

с которой мы здесь столкнулись в ходе решения задачи,  корнем характеристического уравнения является серебрянное сечение.
Т. Е.


Предлагаю за труды никника, число 3+2√2 назвать сечением никника, и обозначить его  как Нс.

Таким образом для рассматриваемой здесь последовательности

1,6,35,204,1189,...


Интересное наблюдение, для последних двух последовательностей:

Если yi - i-ный член последовательности:

1,2,5,12,29,70,169,...

А xi - i-ный член последовательности:

1,6,35,204,1189,...

То верно следующее соотношение:


И получается что

Добавлено (15.12.21, 21:34)
---------------------------------------------

Никник, боюсь вас запутать, но если вдруг поможет, то прошу обратить ваше внимание на тот факт, что


где δ -  серебрянное сечение.И тогда получается что


Теперь вспомним те подходящие дроби, которые нам понадобились здесь для решения задачи (выделены жирным шрифтом)

Прикрепления: 4423611.png(7.6 Kb)


ʎʞнɐнԑи ɐн ʎdǝфɔ
৭ꓕɐʚиhɐdoʚыʚ
ꙕǝᥕʎ


Сообщение отредактировал Фигаро - Вс, 12.12.21, 20:20
 
никникДата: Вт, 21.12.21, 14:30 | Сообщение # 26
Гений
Сообщений: 2707
Награды: 397
Совы: 15
Я извиняюсь, загруженный месяц. Честно говоря, не расписал я предыдущее решение, потому что сделал его методом тыка от формулы натуральных.
Опять же методом тыка, вырисовывается вроде такая формула
х1+n=(3+sqr8)nx1+(3-sqr8)((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1)
но 1)я ее еще не проверял. 2) не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение 3) наверное все таки ее можно упростить. в скобке у нас в общем то получается степенной ряд  напоминающий разложение Тейлора.

Добавлено (21.12.21, 17:07)
---------------------------------------------
x2+x4+x6+x8+x10+x12=(1+x2)(x2+x6+x10+x14+x18+x22+x26...)=(1+x2)(1+x4)(x2+x10+x18+x26...)= (1+x2)(1+x4)(1+x8)(x2+x18..)=(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16)(x2+...)


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.


Сообщение отредактировал никник - Ср, 22.12.21, 13:20
 
ФигароДата: Чт, 23.12.21, 12:49 | Сообщение # 27
Просветленный
Сообщений: 267
Награды: 13
Совы: 5
Цитата никник ()
Я извиняюсь, загруженный месяц.
Ничего страшного.
Цитата никник ()
Опять же методом тыка, вырисовывается вроде такая формулах1+n=(3+sqr8)nx1+(3-sqr8)((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1)
Почему только для чётных n?
Цитата никник ()
1)я ее еще не проверял.
До сих пор? shocked 

А в чём трудность?
Можете конечно сами проверить, а можете поверить мне на слово, это выражение не верное.
Там в посте #23 даны ссылки,  почитайте материал и не придётся тыкать пальцем в небо.
Откройте последнюю ссылку,   прочитайте пункт 2.7.4. со страницы 191.


ʎʞнɐнԑи ɐн ʎdǝфɔ
৭ꓕɐʚиhɐdoʚыʚ
ꙕǝᥕʎ
 
никникДата: Пт, 24.12.21, 06:14 | Сообщение # 28
Гений
Сообщений: 2707
Награды: 397
Совы: 15
Цитата Фигаро ()
Почему только для чётных n?
Только для четных получается то преобразование, что я пытаюсь прокрутить в самом конце. Ну потому, что если из него получится толк, то можно будет привязать и нечетные,если не получится то и не к чему этим морочиться. В обсуждаемой формуле, да слева стоит индекс именно n+1, но n это натуральные, а не нечетные. Просто мне показалось удобней так записать, да и понятней из каких соображений я делаю такое вычисление. А мне  после перерыва приходится и самому это с недоумением вспоминать. В проверке трудность в том, что циферки получаются большие, а я не особо ловко пользуюсь калькулятором. Да, надо бы выделить под задачку полный день. Но нет пока такой возможности. А сорокаминутками при случае я ее похоже не решу.
Вы бы не могли ответить на этот вопрос "не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение?" в формате да/нет, даже если выше Вы на него уже ответили в более интеллектуальном формате?
Цитата Фигаро ()
сами проверить, а можете поверить мне на слово

Я так обычно работаю Фигаро - из общих соображений составляю примерное решение, а потом довожу его до верного либо выясняю, где у меня заблуждение в общих соображениях/где я неправильно представляю начальные данные.


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.


Сообщение отредактировал никник - Пт, 24.12.21, 06:27
 
ФигароДата: Вс, 26.12.21, 00:08 | Сообщение # 29
Просветленный
Сообщений: 267
Награды: 13
Совы: 5
Цитата никник ()
В обсуждаемой формуле, да слева стоит индекс именно n+1, но n это натуральные, а не нечетные
Я вот об этой записи:
Цитата никник ()
((3+sqr8)n-2+(3+sqr8)n-4+....(3+sqr8)2+1)
она подразумевает что n,-  четное число.
Цитата никник ()
не пойму считается ли такая формула или это по сути то же рекурентное(?) выражение?"
Любая прогрессия  это рекурентная последовательность.
Цитата никник ()
Я так обычно работаю Фигаро - из общих соображений составляю примерное решение, а потом довожу его до верного либо выясняю, где у меня заблуждение в общих соображениях/где я неправильно представляю начальные данные.
Все подсказки уже даны, и для того чтобы найти общий метод вывода формулы, и для того чтобы как Гаусс в истории про сумму чисел от 1 до 100, подметить некоторые важные детали и решить задачу частным методом.
В посте #25 я дал вам табличку

Понятно что здесь нужно как-то вычленить числа стоящие перед корнем и просто разделить их на два. Как это сделать?
Вы получили два корня характеристического уравнения:
Нс и Нс-1
Попробуйте составить табличку для Нс-n  
Посмотрите на обе таблички, и думаю вы сразу поймёте что делать.
Чтобы обойтись без калькулятора при составлении таблички, нужно внимательней почитать пост #25, и понять, что геометрические прогресси :

удовлетворяют все тому же рекурентному соотношению
.

Добавлено (06.01.22, 20:12)
---------------------------------------------

Никник, уже 6 января, хватит праздновать))))
Прикрепления: 9656987.png(36.2 Kb) · 5848934.png(11.5 Kb) · 2077693.png(4.4 Kb)


ʎʞнɐнԑи ɐн ʎdǝфɔ
৭ꓕɐʚиhɐdoʚыʚ
ꙕǝᥕʎ
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Формат серии А. (sml[theme])
  • Страница 3 из 3
  • «
  • 1
  • 2
  • 3
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.2000 монет16
2.Задачи для начинающих шах...105
3.Ой2
4.Где Папа?5
5.Простая, но сложная задач...13
6.Странные часы18
7.Не предсказуемая математи...0
8.Формат серии А.28
9.Queen0
10.Брэндон.0
1.Rostislav5371
2.Lexx4728
3.nebo3630
4.Иван3061
5.никник2707
6.Kreativshik2472
7.Гретхен1807
8.Vita1439
9.erudite-man1342
10.Valet937
1.nebo123
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.MrCredo37
5.IQFun30
6.Pro100_Artyom27
7.marutand20
8.хан20
9.никник15
10.Vita13

ГлавнаяГостевая книгаFAQОбратная связьКоллегиФорум Эрудитов