Дилетант, да я понял потом. вот же написал:

Добавлено (23.04.2020, 02:35)
---------------------------------------------
n^k+k-1=m!
n^k/(k-1) +1=m!/(k-1)
(n^k-1)/k +1=m!/k
(n^k-1)/k =m!/k-1
тогда n^k-1 и k имеют одинаковую степень 2. Но тогда n^k-1<k² . Т.е. n<k <m.
Итак, в любом случае имеем n<m и n<k
Вот теперь вроде верно.А?
А в следующий раз подумаю, что это нам дает

Добавлено (23.04.2020, 14:21)
---------------------------------------------
Тут я сам сомневаюсь, в том что напишу, но вроде так:
Итак n<m
Предположим k=m
тогда мы видим 2 ряда одинаковой длины
n*n*n*n*n....n_k
1*2*3*4*5....m
Мы знаем, что если сумма 2 чисел =a, то максимальное их произведение, будет если эти числа =а/2
Тогда получается, что уже при k=m, n<m/2. Но, если n<m/2, то k-1 кратно n².
Но тогда nⁿ<корня из m!. Но тогда k-1 кратно n⁴. Индуктируя мы видим, что k все растет, а n уменьшается до 1. Но наше n>1.
Понятно, также, что при k>m эти соображения остаются в силе.

Добавлено (03.07.2020, 22:27)
---------------------------------------------

Дальше где-то есть ошибка, осталось ее найти и исправить))
Представим N^K как арифметическую прогрессию из k 'элементов от 0 до
a_k=2n^k/k
коэффицент прогрессии
d=2n^k/k(k-1)
тогда  N^K + k -1 выглядит,как арифметическая прогрессия из k-1 'элементов от d до
a_k=2n^k/k +1
коэффицент прогрессии
d=2n^k/k(k-1) + 1
В то же время, m! выглялит,  как арифметическая прогрессия из k 'элементов от 0 до
a_k=2m!/k
коэффицент прогрессии
d=2m!/k(k-1)
Приравняем обе части и сравним элементы:

Сравним элементы: n^k<m! на k-1, 2m!/k(k-1)= 2(n^k+k-1)/k(k-1)=2n^k/(k-1) +2/k