Один из 12 теннисных шариков легче или тяжелее остальных.
Как определить этот шарик, если можно использовать чашечные весы только 3 раза?
Достаточно использовать весы только 3 раза.
Давайте отметим шары, используя числа от 1 до 12 и эти специальные символы:
x? означает мы ничего не знаю о шаре номер x;
x< означает, что этот шар возможно легче остальных;
x> означает, что этот шар возможно тяжелее остальных;
x. означает этот шар "нормальный".
Сначала, положим на левую чашу шары 1? 2? 3? 4? и на правую чашу шары 5? 6? 7? 8?.
Если есть равновесие, то неправильный шар среди шаров 9-12.
Положим 1. 2. 3. слева и 9? 10? 11? на правую чашу.
Если есть равновесие, то неправильный шар - номер 12 и сравниваем его с другим шаром, чтобы узнать тяжелее или легче остальных.
Если левая чаша тяжелее и мы знаем, что 12. "нормальный" и 9< 10< 11<.
Взвешиваем 9< и 10<
Если у них одинаковый вес, то шар 11 легче, чем остальные шары.
Если они не тот же самый вес, то более легкий шар - 9 и 10.
Если правая чаша тяжелее, то 9> 10> и 11> и процедура подобна предыдущей.
Если левая чаша тяжелее, то 1> 2> 3> 4>, 5< 6< 7< 8< и 9. 10. 11. 12.
Теперь положим на левую чашу 1> 2> 3> 5< и на правую чашу 4> 9. 10. 11.
Если равновесие, то подозрительные шары 6< 7< и 8<.
Идентификация неправильного шарика подобна прежнему случаю 9< 10< 11<
Если левая чаша легче, то неправильный шар может быть 5< или 4>.
Сравниваем например 1. и 4>.
Если они весят одинаково, то шар 5 легче остальных. Иначе шар 4 тяжелее (легче).
Если левая чаша тяжелее, то все шары нормальны за исключением 1> 2> и 3>.
Идентификация неправильного шара среди трех шаров была описана ранее.
Можно проще Первым взвешиванием на одну чашу кладем 6 шариков, на другую - остальные 6 шариков. Выбираем шарики с той чаши, которая тяжелее, делим их на две кучки по 3 шарика, производим второе взвешивание, снова выбираем ту чашу, которая тяжелее. На ней 3 шара, один из которых заведомо тяжелее двух других. Третьим взвешиванием сравниваем любые ДВА шарика из этих трех. Если весы в равновесии - самый тяжелый шарик остался "невзвешеным". В противном случае - самый тяжелый шарик тот, который тяжелее своего собрата на весах
Kate, ведь в задаче сказано: "Один из 12 теннисных шариков легче или тяжелее остальных.", а что если он все же легче? А Вы отметаете "кучку" с тем самым шариком еще в первом действии...
Три часа с мужем гадали )) он на листочке с ручкой, а я на "пальцах". Три часа выслушивала от него насмешки, что так не разгадаю! Но... спустя три часа я ему рассказывала отгадку!!!
не рассмотрен случай, при котором при первом взвешивании равновесия нет. тогда неизвестно, в какой из групп находится наш шарик. и все решение дальше не идет.
Приведенное "решение" неверное - уже в конце 4-го абзаца, вывод: "..., то более лёгкий шар 9 и 10", создает неопределенность, т.к., взвешивая "одинаковые" (x?, x<, x>, x.) шары между собой нельзя ответить какой из них больше или меньше по весу (массе). Мне эту задачу подкинули в 2005. Думал в сумме 6 часов. Решение есть, спасибо учителям 493-ей школы: Физику Борису Иннокентьевичу Андрееву-Долгову (Бобу)и математику Мельниковой Марии Александровне (Марьяше), научили думать ("Игра ума - есть лучшая из игр"), хотя, мои одноклассники умеют не только думать. Даю всем месяц на размышление, косвенную подсказку я уже сделал, после чего, приведу решение. Удачи и терпения.
Давайте отметим шары, используя числа от 1 до 12 и эти специальные символы: x? означает мы ничего не знаю о шаре номер x; x< означает, что этот шар возможно легче остальных; x> означает, что этот шар возможно тяжелее остальных; x. означает этот шар "нормальный".
Сначала, положим на левую чашу шары 1? 2? 3? 4? и на правую чашу шары 5? 6? 7? 8?.
Если есть равновесие, то неправильный шар среди шаров 9-12. Положим 1. 2. 3. слева и 9? 10? 11? на правую чашу.
Если есть равновесие, то неправильный шар - номер 12 и сравниваем его с другим шаром, чтобы узнать тяжелее или легче остальных. Если левая чаша тяжелее и мы знаем, что 12. "нормальный" и 9< 10< 11<. Взвешиваем 9< и 10< Если у них одинаковый вес, то шар 11 легче, чем остальные шары. Если они не тот же самый вес, то более легкий шар - 9 и 10.
Если правая чаша тяжелее, то 9> 10> и 11> и процедура подобна предыдущей. Если левая чаша тяжелее, то 1> 2> 3> 4>, 5< 6< 7< 8< и 9. 10. 11. 12. Теперь положим на левую чашу 1> 2> 3> 5< и на правую чашу 4> 9. 10. 11. Если равновесие, то подозрительные шары 6< 7< и 8<. Идентификация неправильного шарика подобна прежнему случаю 9< 10< 11<
Если левая чаша легче, то неправильный шар может быть 5< или 4>. Сравниваем например 1. и 4>. Если они весят одинаково, то шар 5 легче остальных. Иначе шар 4 тяжелее (легче). Если левая чаша тяжелее, то все шары нормальны за исключением 1> 2> и 3>. Идентификация неправильного шара среди трех шаров была описана ранее.
Поначалу казалось, что задачу решить невозможно. Дошел до 11 шаров при делении исходной кучки на меньшие: 3-3-3-2. Если первые две кучки равны 3=3, то сравниваем любые три шара из них с третьей, если снова равенство, то искомый шар в двух оставшихся, находится за 1 взвешивание с любым обычным шаром. Если на каком-то из предыдущих этапов неравенство, то взвешиванием любой из неравных кучек с тремя обычными шарами находится как искомая кучка из 3 шаров, так и соотношение весов. И далее решается за 1 взвешивание.
Можно ввести обозначения: 3+,1 - это значит, что задача о нахождении шара в кучке из трех шаров решается за одно взвешивание, если известно, легче шар или тяжелее остальных. Соответственно, 9+,2; 27+,3.
Можно попробовать перебирать варианты. Пронумеруем шары, как указано в решении: 1,2,3,...,12. 1. Взвешиваем любые 2 шара. Есть хороший вариант, когда искомый шар - один из этих двух шаров, а есть плохой вариант. Далее будем рассматривать плохие варианты. Получается задача 10-, которая не решается за 2 взвешивания никак (за 2 хода решается максимум 9+). 2. Взвешиваем 1,2 и 3,4. В плохом случае задача сводится к 8-, которая также за 2 хода не решается. 3. 1,2,3 и 4,5,6. При неравенстве на каком-либо этапе задача решается, как было указано выше. В плохом случае после двух равенств 1,2,3=4,5,6 и 1,2,3=7,8,9 приходим к задаче 3-, которая не решается на 1 оставшийся ход. 4. 1,2,3,4 и 5,6,7,8. Если равенство, то в оставшихся 4 шарах искомый находится достаточно просто при помощи двух взвешиваний и возможности использования обычных шаров. Именно этот пункт и не освещен корректно в предложенном решении. а) Можно взвесить 9 и 10, если равенство, то любой из 11-12 с любым из обычных 1-10. Если неравенство, то взвешиваем любой из 9-10 с любым из обычных 1-8 или 11-12. б) Можно взвесить любые три из 1-8 и 9,10,11, если равенство, то искомый шар - 12. Если неравенство, то шар в 9,10,11 и мы знаем, тяжелее он или легче. Задача сводится к 3+ и решается за 1 ход.
Если в первом взвешивании неравенство, то, на первый взгляд, задача не решается. Это обсудим ниже. 5. 1,2,3,4,5 и 6,7,8,9,10. В плохом варианте получаем неравенство и задача за оставшиеся 2 хода не решается (1 ход уйдет на то, чтобы идентифицировать искомую группу из 4 шаров, а задача 4+ за один оставшийся ход не решается). 6. 1,2,3,4,5,6 и 7,8,9,10,11,12. В плохом случае за 2 хода мы узнаем только группу из 6 шаров, где искомый шар. Задача 6+ за оставшийся ход не решается.
В варианте 4 меня поначалу смущало то, что в случае неравенства в первом взвешивании не получалось далее за 1 ход свести задачу к 3+. Обычный способ: деление любой из кучек 1-4 и 5-8 на две по 2 шара и их взвешивание дает в плохом случае задачу 4+. И за 1 оставшийся ход не она не решается. В приведенном решении есть указание на то, как можно поступить и разрешить этот вопрос. Можно воспользоваться предложенными обозначениями или просто рассуждать логически. Надо перераспределить группы 1-4, 5-8 так, чтобы в логически выделенных подгруппах осталось не более 3 шаров. И у нас 3 возможных показания весов: =, >, <, которые могут указывать на искомую группу. Из первой группы убираем один шар, допустим, 1, и переносим его во вторую группу. А из второй переносим один шар, допустим, 5, в первую. Из второй группы заменяем три оставшихся шара обычными (6-8 заменяем на любые три из 9-12). Взвешиваем (5,2,3,4 и 1,9,10,11). а) Соотношение между массами на чашах изменится, если искомый шар был перенесен на другую чашу или заменен. Т.е., если наблюдается прежнее отношение, тогда искомый шар в тех, которые остались на своем месте, а это 2,3,4. Задача свелась к 3+. б) Если соотношение изменилось на равновесие, то это значит, что искомый шар был убран с весов. Тогда это указание на шары 6,7,8. Задача свелась к 3+. в) Если соотношение изменилось на противоположное, то это значит, что искомый шар был перемещен с одной чаши на другую. Т.е. это указание на шары 1 и 5. Взвешиванием любого из этих шаров с любым обычным (2-4 или 6-12) находится искомый шар.
Представленное в ответе решение верное, за исключением путаницы в первой части (после равенства в первом взвешивании 1,2,3,4 = 5,6,7,8).
Первым взвешиванием на одну чашу кладем 6 шариков, на другую - остальные 6 шариков. Выбираем шарики с той чаши, которая тяжелее, делим их на две кучки по 3 шарика, производим второе взвешивание, снова выбираем ту чашу, которая тяжелее. На ней 3 шара, один из которых заведомо тяжелее двух других. Третьим взвешиванием сравниваем любые ДВА шарика из этих трех. Если весы в равновесии - самый тяжелый шарик остался "невзвешеным". В противном случае - самый тяжелый шарик тот, который тяжелее своего собрата на весах 
