В книге Рублева А.Н. «Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебник для вузов. Высшая школа.1972 г.»на странице 88 даётся такое определение :«Вектор представляет собой геометрический объект, характеризуемый длинной и направлением.» Как вам кажется, верно это определение или нет? Ответ обоснуйте.
Учебник по алгебре и анал. геометрии. Физические величины, такие как скорость и т.д., видимо, здесь не принимаются во внимание. Но я бы сказала, не объект, а отрезок прямой, характеризуемый началом и указывающим направление.
Очевидно, верно в рамках аналитической геометрии. А насколько полно можно спорить. (Так, например, думаю можно говорить еще и о "n-мерности пространства в котором рассматривается вектор".) А что можно считать обоснованием согласия с и так весьма солидным источником?
Сообщение отредактировал никник - Сб, 09.04.16, 01:23
"..Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие.." Следовательно для учебника по "Курс линейной алгебры и аналитической геометрии." определение вектора должно звучать обобщенно, т.е. вектор - это математический объект....
Оставим понятие вектора из элементарной геометрии, как обычный отрезок, имеющий направление. Конечно, все физические векторные величины имеют направление, величину и являются геометрическими объектами, т.к. являются векторами обычного трёхмерного пространства и могут быть заданы координатами в пространстве или плоскости. Если рассматривать скорость, то это быстрота движения мат. точки в определённом направлении и она является производной вектора, задающего положение этой точки в пространстве относительно заданной системы координат, по времени. Можно сказать, что вектора ускорения, силы и импульса, которые образуются действиями над скоростью составляют своё векторное пространство. Что значит учить, сдать и забыть (это я про себя). В линейной алгебре есть раздел, изучающий векторные (линейные) пространства. Эти пространства могут образовываться линейными функциями, квадратными трёхчленами, многочленами, функциями и может ещё чем -нибудь, главное, чтобы это было множество с двумя операциями (сложение и умножение на скаляр), удовлетворяющими определённым требованиям (7 аксиом). Вектор - это геометрический объект, потому что он является элементом пространства, которое можно описать геометрической моделью, в котором есть и направление и величина. В учебнике сказано, что длина, а не величина. Может это равнозначные термины тут. Векторные пространства очень даже симпатичные геометрические фигуры воссоздают, например, простейшая система из линейных уравнений с тремя неизвестными. Как видно три неизвестных воссоздают три плоскости, а решение системы их пересечение. Между функциями можно даже высчитать углы. Понятие о векторах и возникло, когда была описана геометрическая модель комплексных чисел. А операции над векторами описал Гамильтон в своём кватернионном исчислении.
Природа векторов различная, но все они имеют геометрическую интерпретацию в пространстве или на плоскости, поэтому, мне кажется, геометрический объект - это правильно. И ещё, само слово вектор с латыни будет - везущий, несущий. А нести (везти) нечто можно только в пространстве или на плоскости, а это уже геометрические образы.
В то же время, если принимать за геометрические объекты в формулировке, геометрические фигуры (они же тоже объекты), то над ними никаких действий произвести невоможно (ни сложить, ни умножить на скалярную величину.) И ещё, есть геометрический объект и его длина и направление движения, которое можно указать стрелкой, но он не движется, тогда эта стрелка уже не вектор. Значит определение не полное, т.е. недостаточное для определения вектора. От предыдущего рассуждения о геометрический интерпрeтации векторных полей, не отказываюсь. И теперь, я бы исключила понятие геометрический объект, хоть и присутствует геометрическая интерпретация. Я бы сказала так, вектор - это элемент такого векторного (линейного) пространства, множества, в котором сложение и умножение на скаляр, удовлетворяют определённым требованиям (8 аксиом).
Сообщение отредактировал nebo - Сб, 09.04.16, 14:32
nebo, а точно о векторе можно говорить, как о отрезке? Никогда не любил этот раздел математики, но что то мне кажется, что вектор может быть и безразмерным (лучом или прямой). И вот тогда, хоть и не лишено резона, но спорно, что к нему употребимо выражение "характеризуется длиной", имхо.
Всем смпасибо за интересные ответы. У каждого есть зерно истины, поэтому каждому из участников с меня по награде. Определение данное Рублевым несмотря на простоту и лаконичность не определяет в полной мере, то, что называют вектором. 1. Называть вектор геометрическим объектом естественно некорректно, т.к алгебраические операции над геометрическими объектами смысла не имеют. Складывать круг с квадратом бессмысленное занятие. Вектор является объектом как геометрическим, так и алгебраяческим,т.к придаёт геометрический смысл алгебраическим операциям. 2. У множества геометрических объектов можно найти кучу свойств характеризующихся длинной и направлением, но тем не менее не являющихся векторами.
Итог
С одной стороны вектор в точности подподает под определение Рублева,поэтому однозначно определить его как неверное нельзя, а с другой стороны не все то, что подподает под это определение является вектором, поэтому однозначно определить его как верное нельзя. Получилась несколько неопределенная ситуация из которой, согласно закону исключительного третьего (высказывание либо ложно либо истинно) обязательно есть выход, который состоит в следующем: Если цитату из Учебника Рублева рассматривать как высказывание, то оно абсолютно истинно, а если ее рассматривать как определение вектора (определение высказыванием не является), то оно полностью некорректно, т.е. это определение неверно, несмотря на солидность источника Ещё раз всем спасибо.
Сообщение отредактировал Kreativshik - Сб, 09.04.16, 19:46
Мне очень нравятся в математике формулировки из сочетания этих 2 слов: необходимое и достаточное. В данном, случае, как я понимаю, получилось условие необходимое, но недостаточное.
