1) Используя тот факт, что
Цитата Kreativshik (
)
аx²+bx+c=(a/a)x²+(b/a)x+(c/a)
, можно без потери общности принять а=1
2) Используя тот факт, что уравнения имеющие разные знаки перед средним членом будут иметь противоположные корни, упростим задачу ответив на вопрос задачи относительно только двух уравнений:
а) ах²+bx+c=0
b) ax+bx-c=0
Каков бы небыл ответ на задачу относительно этих двух уравнений, относительно оставшихся двух ответ будет аналогичен.
3)Для того чтобы корни данных уравнений были целыми, нужно чтобы их дискриминанты были полными квадратами, т.е b²-4c=n², b²+4c=m², т.к. при этом условии b и b²-4c одной четности, а значит -b±√(b²-4c) четно, следовательно корни х
1,2=(-b±√(b²-4c))/2 целые.
4) избавимся от с руководствуясь пунктом (3) следующим образом:
n²+m²=b²-4c+b+4c=2b²
Из прямого следствия теоремы Ферма-Эйлера:«Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида 4k+3 входит в его разложение на простые множители в чётной степени.» сразу находим ближайший пример7²+1²=2•5²
b=5
c=(7²-5²)/4=6
4) И того:
Ответ на задачу положителен.
Пример:
а=1 (см. пункт 1)
b=5 (см. пункт 4)
с=6 (см. пункт 4)
