Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
Страница 1 из 11
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Точки на плоскости (sml[ok])
Точки на плоскости
erudite-manДата: Среда, 01.01.2014, 16:07 | Сообщение # 1
Модератор
Сообщений: 1289
Награды: 210
Совы:
На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам. Белая плоскость бесконечна во всех направлениях.

 
УхДата: Среда, 01.01.2014, 21:03 | Сообщение # 2
Гуру
Сообщений: 271
Награды: 48
Совы: 3
Т.к. плоскость изначально белая то, чтобы не нашлось двух белых точек, между ними должна быть черная краска размером более 2014 метров. Но в этом случае получается две точки черного цвета.

Стараться выглядеть умным - это ещё не признак ума, господа. Все глупости на земле делаются именно с таким выражением лица.(видоизмененный Г.Горин).
 
erudite-manДата: Среда, 01.01.2014, 22:39 | Сообщение # 3
Модератор
Сообщений: 1289
Награды: 210
Совы:
Ух, доказательство верно, но отличается от авторского. Приведу авторский:
Так как плоскость бесконечна, то на ней можно построить равносторонний треугольник со стороной 2014 метров. Так как цветов два, то вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ. Отсюда следует, что две соседние вершины одного цвета.


 
KreativshikДата: Понедельник, 06.01.2014, 15:29 | Сообщение # 4
Гений
Сообщений: 2357
Награды: 247
Совы: 112
Вот так будет правильней
Цитата ЭрудитНикита ()
вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ

Ну или вот так:
Цитата ЭрудитНикита ()
вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ, БББ, ЧЧЧ
А чтобы не перечислять комбинации, можно записать вот так:
По принципу Дирихле* как минимум две вершины должны быть окрашены в один цвет.
А можно и без треугольника доказать, но получится менее изящно:
Допустим, что не найдутся
Цитата ЭрудитНикита ()
две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам
,
тогда построив на плоскости окружность радиусом r=2014м с точкой цвета "х" в её центре, все точки лежащие на окружности будут цвета "у". Тогда выделив на окружности две точки разбивающие данную окружность на две дуги длинами l=2014π/3 и l'=10070π/3, кратчайшее расстояние между этими точками будет l''=2014/(2cos(π/3))=2014.
Противоречие. Следовательно
Цитата ЭрудитНикита ()
найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам
, ч.т.д.
* - Принцип Дирихле в упрощенной форме формулируется так:
Если десять кроликов сидят в девяти ящика, то найдётся ящик в котором сидят не меньше двух кроликов.
По-моему вполне естественный и до боли очевидный принцип, однако упомянуть его стоит, дабы он помогает решать довольно каверзные задачи.
Более формалиная его интерпритация звучит так:
Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в котором сидят не менее ⌈n/k⌉ кроликов, и найдётся ящик, в котором не более ⌊n/k⌋ кроликов.
Символы ⌈⌉ и ⌊ ⌋ обозначают функции ceil и floor (потолок и пол) соответственно. Ввел их канадец Кеннет Юджин Айверсон в 1962 году.
Функция пол, округляет до ближайшего целого числа в меньшую сторону, а потолок в большую сторону.
⌈3/2⌉=2
⌊3/2⌋=1
В виду очевидности принципа, его доказательство приводят в редких случаях. Здесь я его приведу, поэтому этот пост можно считать тем самым редким случаем.
Допустим, что в каждом ящике сидят меньше чем n/k кроликов. Тогда во всех ящиках сидит кроликов меньше чем (n/k)•k=n. Противоречие. ч.т.д.))


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал Kreativshik - Понедельник, 06.01.2014, 15:54
 
erudite-manДата: Понедельник, 06.01.2014, 15:48 | Сообщение # 5
Модератор
Сообщений: 1289
Награды: 210
Совы:
Kreativshik, up

 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Решенные задачи » Точки на плоскости (sml[ok])
Страница 1 из 11
Поиск:

Интересная информация
Обновленные задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Грампластинка2
2.Занимательная математика93
3.Еще одна задача на постро...8
4.Две страны.5
5.О времена, о нравы ...7
6.Стакан наполовину пуст и ...9
7.Князь6
8.Помогите с тетрисом.3
9.многоугольник16
10.Имя пятого ребенка?1
1.Lexx4728
2.Rostislav4724
3.nebo3416
4.Иван3061
5.Kreativshik2357
6.никник2030
7.Гретхен1802
8.erudite-man1289
9.Valet937
10.goliv772
1.nebo114
2.Kreativshik112
3.sovetnik49
4.IQFun29
5.Pro100_Artyom27
6.MrCredo21
7.marutand20
8.хан20
9.slltllnll12
10.Ленка11


О проектеГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовХостинг от uCoz