На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам. Белая плоскость бесконечна во всех направлениях.
Т.к. плоскость изначально белая то, чтобы не нашлось двух белых точек, между ними должна быть черная краска размером более 2014 метров. Но в этом случае получается две точки черного цвета.
Ух, доказательство верно, но отличается от авторского. Приведу авторский: Так как плоскость бесконечна, то на ней можно построить равносторонний треугольник со стороной 2014 метров. Так как цветов два, то вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ. Отсюда следует, что две соседние вершины одного цвета.
вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ
Ну или вот так:
ЦитатаЭрудитНикита ()
вершины могут быть окрашены только в следующих комбинациях: БЧЧ, ЧББ, БББ, ЧЧЧ
А чтобы не перечислять комбинации, можно записать вот так: По принципу Дирихле* как минимум две вершины должны быть окрашены в один цвет. А можно и без треугольника доказать, но получится менее изящно: Допустим, что не найдутся
ЦитатаЭрудитНикита ()
две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам
, тогда построив на плоскости окружность радиусом r=2014м с точкой цвета "х" в её центре, все точки лежащие на окружности будут цвета "у". Тогда выделив на окружности две точки разбивающие данную окружность на две дуги длинами l=2014π/3 и l'=10070π/3, кратчайшее расстояние между этими точками будет l''=2014/(2cos(π/3))=2014. Противоречие. Следовательно
ЦитатаЭрудитНикита ()
найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2014 метрам
, ч.т.д. * - Принцип Дирихле в упрощенной форме формулируется так: Если десять кроликов сидят в девяти ящика, то найдётся ящик в котором сидят не меньше двух кроликов. По-моему вполне естественный и до боли очевидный принцип, однако упомянуть его стоит, дабы он помогает решать довольно каверзные задачи. Более формалиная его интерпритация звучит так: Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в котором сидят не менее ⌈n/k⌉ кроликов, и найдётся ящик, в котором не более ⌊n/k⌋ кроликов. Символы ⌈⌉ и ⌊ ⌋ обозначают функции ceil и floor (потолок и пол) соответственно. Ввел их канадец Кеннет Юджин Айверсон в 1962 году. Функция пол, округляет до ближайшего целого числа в меньшую сторону, а потолок в большую сторону. ⌈3/2⌉=2 ⌊3/2⌋=1 В виду очевидности принципа, его доказательство приводят в редких случаях. Здесь я его приведу, поэтому этот пост можно считать тем самым редким случаем. Допустим, что в каждом ящике сидят меньше чем n/k кроликов. Тогда во всех ящиках сидит кроликов меньше чем (n/k)•k=n. Противоречие. ч.т.д.))
Сообщение отредактировал Kreativshik - Пн, 06.01.14, 15:54
