На городской олимпиаде по математике каждому участнику присваивается шифр - произвольное число, оканчивающееся номером класса, в котором он учится. В олимпиаде по 6 и 7 классам приняли участие 75 детей, и оказалось, что сумма шифров шестиклассников равна сумме шифров семиклассников. На следующий год в олимпиаде по 7 и 8 классам приняли участие эти же 75 ребят. Могли ли суммы шифров этих теперь уже семи- и восьмиклассников опять оказаться равными? (Шифры следующего года не связаны с шифрами предыдущего).
Сумма шифров 7-класников будет оканчиваться цифрой из ряда: 7 (если число 7-класников 1,11,21 и т.д), 4(2,12,22..),1(3,13,23...), 8(4,14,24...), 5(5,15,25...), 2(6,16,26...), 9(7,17,27...), 6(8,18,28...), 3(9,19,29...), 0(10,20,30...).
А 8-класников: 8(если число 8-классников 1,11,21,...,6,16,26...), 6(если 2,12,22,...,7,17,27...), 4(3,13,23...,8,18,28...), 2(4,14,24...,9,19,29...), 0(5,15,25...,10,20,30...). Всего учеников 75.
Теперь находим соответствия между рядами. Для 7 -нет. Для 4 - есть соответствие. Например 7-класников 32 чел., значит 8-класников 43 чел. Шифр произвольный следовательно его всегда можно подобрать так чтобы суммы совпадали.
Так же соответствия есть для 8, 2, 6, 10 - на конце суммы шифров. Ответ: да, могли.
Примим m-количество шестиклассников в будущем семиклассников. n - количество семиклассников в будущем восьмиклассников. s - сумма присвоенных шестиклассникам произвольных номеров. c - сумма присвоенных семиклассникам произвольных номеров. Те же суммы, только уже семи и восьмиклассников обозначим как s` и с`
т.к. номер каждого ученика заканчивается номером его класса, то s=2r,r∈Z, а т.к. s=c то и c=2r,r∈Z, следовательно n=2r,r∈Z, а m=2r+1,r∈Z т.к 75 нечетное. Но тогда s`=2r+1,r∈Z, a с`=2r,r∈Z, следовательно с`≠s`, поэтому не могли.
Сообщение отредактировал Kreativshik - Сб, 23.11.13, 18:19
