Эти-то я тоже нашла. А вот объяснит ли мне кто-нибудь, почему нет других? Ведь в вопросе "все"...
Сумма и разность двух простых чисел не может иметь простых общих множителей отличных от 2. Отсюда: p + q = 2^n p - q = 2^m Где n > m p = (2^n + 2^m)/2 = 2^{m-1} (2^{n-m} + 1) q = (2^n - 2^m)/2 = 2^{m-1} (2^{n-m} - 1) Ну и перебирая всевозможные m и n (с учетом того, что p и q должны быть простыми), находим только эти варианы
Из условия задачи вытекает, что p + q делится на p – q, следовательно, (p + q) –(p – q) = 2q также делится на p – q. Если число q – простое, то делителями числа 2q могут являться только числа 1, 2, q и 2q.
Если p – q = 1, то левая часть исходного равенства больше правой. Если p – q = q, то p = 2q, то есть число р – не простое. Аналогично, если p – q = 2q, то p = 3q, то есть и в этом случае, р – не простое число. Значит р – q = 2. Тогда исходное равенство примет вид: (q + 2) + q = 2r ⇔ q + 1 = 2r – 1 ⇔ q = 2r – 1 – 1. Так как q = 2r – 1 – 1=(2(r – 1)/2)2-1=(2(r – 1)/2 -1)(2(r – 1)/2 +1) то q может оказаться простым числом только в случае, когда 2(r – 1)/2 -1=1 Значит (r – 1)/2=1. Тогда q = 3 и р = 5.
