В продолжение темы неверности принципа Дирихле по памяти привожу задачку повышенной сложности с одной Всемирной математической олимпиады школьников: в одном математическом конгрессе участвовало 1979 учёных из 6-ти стран. Они были перенумерованы от 1 до 1979. Доказать, что найдутся 3 учёных из одной страны таких, что сумма номеров двух из них равна номеру 3-го, или найдутся два таких из одной страны, что удвоенный номер одного равен номеру второго.
Т.к. уже есть подсказка, что теорема доказывается последовательным применением принципа Дирихле, то остаётся пожелать успехов.
Сообщение отредактировал IQFun - Чт, 06.07.17, 10:33
да, ответа нема. потом еще подумаю Каждый ученный участвует в 1978 тройках, составленных таким образом, что сумма номеров 2х участников = номеру 3.... Есть 660 ученных из одной страны у которых.... 1 990-1979 Англия 1, 2 445-889 3 223-444 4 112-222
Добавлено (13.12.2017, 13:46) --------------------------------------------- Нашёл вчера эту задачку и её решение в задачнике "Кванта". Она была отмечена звёздочкой, как с повышенной трудностью, но решение у неё короткое и простое. Просто, надо рассуждать логически и всё! Она была на XX Международной математической олимпиаде для школьников в Бухаресте в 1978 г. Поэтому в условии должно быть 1978 участников, а не 1979, что несущественно.
Идея решения: просто 5 раз используем принцип Дирихле и готово! И ещё надо сначала предположить что-нибудь противное, напр., что таких участников не найдётся, а потом это опровергнуть!
По принципу Дирихле, найдётся такая страна, из котрой будет не менее ]1978/6[ = 330 чел. Пусть их номера будут a1, a2, ..., a330. По противному предположению, номера a2-a1, a3-a1, ..., a330-a1 должны принадлежать участникам из остальных 5-ти стран. Из этих 329 номеров найдётся ]329/5[ = 66 номеров, которые должны принадлежать участникам из одной и той же страны, пусть эти номера будут b1, b2, ..., b66. Тогда 65 номеров b2-b1, b3-b1, ..., b66-b1 должны принадлежать участникам из оставшихся 4-х стран. Из них найдётся ]65/4[ = 17 номеров, которые принадлежат участникам одной и той же страны, пусть они будут c1, c2, ..., c17. Тогда 16 номеров c2-c1, c3-c1, ..., c17-c1 принадлежат участникам из оставшихся 3-х стран. Из них найдётся ]16/3[ = 6 номеров из одной и той же страны. Пусть эти номера будут d1, d2, ..., d6. Тогда 5 номеров d2-d1, d3-d1, ..., d6-d1 принадлежат участникам оставшихся 2-х стран. Из них найдётся ]5/2[ = 3 номера, которые принадлежат участникам из одной и той же страны. Их разности e2-e1 и e3-e1 не могут быть номерами участника ни одной страны. Противоречие!
Сообщение отредактировал IQFun - Ср, 13.12.17, 13:56
