Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Задачка на принцип Дирихле (sml[theme])
Задачка на принцип Дирихле
IQFunДата: Чт, 06.07.17, 10:32 | Сообщение # 1
Просветленный
Сообщений: 618
Награды: 35
Совы: 30
В продолжение темы неверности принципа Дирихле по памяти привожу задачку повышенной сложности с одной Всемирной математической олимпиады школьников: в одном математическом конгрессе участвовало 1979 учёных из 6-ти стран. Они были перенумерованы от 1 до 1979. Доказать, что найдутся 3 учёных из одной страны таких, что сумма номеров двух из них равна номеру 3-го, или найдутся два таких из одной страны, что удвоенный номер одного равен номеру второго.

Т.к. уже есть подсказка, что теорема доказывается последовательным применением принципа Дирихле, то остаётся пожелать успехов. :)


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Чт, 06.07.17, 10:33
 
никникДата: Вс, 09.07.17, 02:32 | Сообщение # 2
Гений
Сообщений: 2707
Награды: 397
Совы: 15
да, ответа нема. потом еще подумаю
Каждый ученный участвует в 1978 тройках, составленных таким образом, что сумма номеров 2х участников = номеру 3....
Есть 660 ученных из одной страны у которых.... 
1 990-1979 Англия 1, 
2 445-889
3 223-444
4 112-222

14691114161921242629
23781213171822232728
520304555708095
10154050608590
25356575
100


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
IQFunДата: Ср, 13.12.17, 13:46 | Сообщение # 3
Просветленный
Сообщений: 618
Награды: 35
Совы: 30
Это что, дневник сумасшедшего математика? :)

Добавлено (13.12.2017, 13:46)
---------------------------------------------
Нашёл вчера эту задачку и её решение в задачнике "Кванта". Она была отмечена звёздочкой, как с повышенной трудностью, но решение у неё короткое и простое. Просто, надо рассуждать логически и всё! :) Она была на XX Международной математической олимпиаде для школьников в Бухаресте в 1978 г. Поэтому в условии должно быть 1978 участников, а не 1979, что несущественно.

Идея решения: просто 5 раз используем принцип Дирихле и готово! И ещё надо сначала предположить что-нибудь противное, напр., что таких участников не найдётся, а потом это опровергнуть!

По принципу Дирихле, найдётся такая страна, из котрой будет не менее ]1978/6[ = 330 чел. Пусть их номера будут a1, a2, ..., a330. По противному предположению, номера a2-a1, a3-a1, ..., a330-a1 должны принадлежать участникам из остальных 5-ти стран. Из этих 329 номеров найдётся ]329/5[ = 66 номеров, которые должны принадлежать участникам из одной и той же страны, пусть эти номера будут b1, b2, ..., b66. Тогда 65 номеров b2-b1, b3-b1, ..., b66-b1 должны принадлежать участникам из оставшихся 4-х стран. Из них найдётся ]65/4[ = 17 номеров, которые принадлежат участникам одной и той же страны, пусть они будут c1, c2, ..., c17. Тогда 16 номеров c2-c1, c3-c1, ..., c17-c1 принадлежат участникам из оставшихся 3-х стран. Из них найдётся ]16/3[ = 6 номеров из одной и той же страны. Пусть эти номера будут d1, d2, ..., d6. Тогда 5 номеров d2-d1, d3-d1, ..., d6-d1 принадлежат участникам оставшихся 2-х стран. Из них найдётся ]5/2[ = 3 номера, которые принадлежат участникам из одной и той же страны. Их разности e2-e1 и e3-e1 не могут быть номерами участника ни одной страны. Противоречие!


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Ср, 13.12.17, 13:56
 
zhekasДата: Ср, 13.12.17, 15:49 | Сообщение # 4
Гуру
Сообщений: 166
Награды: 43
Совы: 6
Цитата IQFun ()
Тогда 65 номеров b2-b1, b3-b1, ..., b66-b1 должны принадлежать участникам из оставшихся 4-х стран.

А почему эти 65 номеров не могут входить в первую группу (Та где номера a1,...,a330)?
 
IQFunДата: Ср, 13.12.17, 16:02 | Сообщение # 5
Просветленный
Сообщений: 618
Награды: 35
Совы: 30
По противному предположению. :) Например: b3-b1-(b2-b1)=b3-b2=a3-a1-(a2-a1)=a3-a2.

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Задачка на принцип Дирихле (sml[theme])
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Где Папа?3
2.Простая, но сложная задач...11
3.Не предсказуемая математи...0
4.Формат серии А.28
5.Странные часы16
6.Queen0
7.Ой0
8.Брэндон.0
9.В школе не расскажут.0
10.Задачи для начинающих шах...102
1.Rostislav5370
2.Lexx4728
3.nebo3630
4.Иван3061
5.никник2707
6.Kreativshik2472
7.Гретхен1807
8.Vita1439
9.erudite-man1342
10.Valet937
1.nebo123
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.MrCredo37
5.IQFun30
6.Pro100_Artyom27
7.marutand20
8.хан20
9.никник15
10.Vita13

ГлавнаяГостевая книгаFAQОбратная связьКоллегиФорум Эрудитов