Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Задачка на принцип Дирихле (sml[theme])
Задачка на принцип Дирихле
IQFunДата: Четверг, 06.07.2017, 10:32 | Сообщение # 1
Гуру
Сообщений: 479
Награды: 23
Совы: 30
В продолжение темы неверности принципа Дирихле по памяти привожу задачку повышенной сложности с одной Всемирной математической олимпиады школьников: в одном математическом конгрессе участвовало 1979 учёных из 6-ти стран. Они были перенумерованы от 1 до 1979. Доказать, что найдутся 3 учёных из одной страны таких, что сумма номеров двух из них равна номеру 3-го, или найдутся два таких из одной страны, что удвоенный номер одного равен номеру второго.

Т.к. уже есть подсказка, что теорема доказывается последовательным применением принципа Дирихле, то остаётся пожелать успехов. :)


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Четверг, 06.07.2017, 10:33
 
никникДата: Воскресенье, 09.07.2017, 02:32 | Сообщение # 2
Гений
Сообщений: 2249
Награды: 320
Совы: 12
да, ответа нема. потом еще подумаю
Каждый ученный участвует в 1978 тройках, составленных таким образом, что сумма номеров 2х участников = номеру 3....
Есть 660 ученных из одной страны у которых.... 
1 990-1979 Англия 1, 
2 445-889
3 223-444
4 112-222

14691114161921242629
23781213171822232728
520304555708095
10154050608590
25356575
100


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
IQFunДата: Среда, 13.12.2017, 13:46 | Сообщение # 3
Гуру
Сообщений: 479
Награды: 23
Совы: 30
Это что, дневник сумасшедшего математика? :)

Добавлено (13.12.2017, 13:46)
---------------------------------------------
Нашёл вчера эту задачку и её решение в задачнике "Кванта". Она была отмечена звёздочкой, как с повышенной трудностью, но решение у неё короткое и простое. Просто, надо рассуждать логически и всё! :) Она была на XX Международной математической олимпиаде для школьников в Бухаресте в 1978 г. Поэтому в условии должно быть 1978 участников, а не 1979, что несущественно.

Идея решения: просто 5 раз используем принцип Дирихле и готово! И ещё надо сначала предположить что-нибудь противное, напр., что таких участников не найдётся, а потом это опровергнуть!

По принципу Дирихле, найдётся такая страна, из котрой будет не менее ]1978/6[ = 330 чел. Пусть их номера будут a1, a2, ..., a330. По противному предположению, номера a2-a1, a3-a1, ..., a330-a1 должны принадлежать участникам из остальных 5-ти стран. Из этих 329 номеров найдётся ]329/5[ = 66 номеров, которые должны принадлежать участникам из одной и той же страны, пусть эти номера будут b1, b2, ..., b66. Тогда 65 номеров b2-b1, b3-b1, ..., b66-b1 должны принадлежать участникам из оставшихся 4-х стран. Из них найдётся ]65/4[ = 17 номеров, которые принадлежат участникам одной и той же страны, пусть они будут c1, c2, ..., c17. Тогда 16 номеров c2-c1, c3-c1, ..., c17-c1 принадлежат участникам из оставшихся 3-х стран. Из них найдётся ]16/3[ = 6 номеров из одной и той же страны. Пусть эти номера будут d1, d2, ..., d6. Тогда 5 номеров d2-d1, d3-d1, ..., d6-d1 принадлежат участникам оставшихся 2-х стран. Из них найдётся ]5/2[ = 3 номера, которые принадлежат участникам из одной и той же страны. Их разности e2-e1 и e3-e1 не могут быть номерами участника ни одной страны. Противоречие!


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Среда, 13.12.2017, 13:56
 
zhekasДата: Среда, 13.12.2017, 15:49 | Сообщение # 4
Гуру
Сообщений: 166
Награды: 43
Совы: 6
Цитата IQFun ()
Тогда 65 номеров b2-b1, b3-b1, ..., b66-b1 должны принадлежать участникам из оставшихся 4-х стран.

А почему эти 65 номеров не могут входить в первую группу (Та где номера a1,...,a330)?
 
IQFunДата: Среда, 13.12.2017, 16:02 | Сообщение # 5
Гуру
Сообщений: 479
Награды: 23
Совы: 30
По противному предположению. :) Например: b3-b1-(b2-b1)=b3-b2=a3-a1-(a2-a1)=a3-a2.

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Задачка на принцип Дирихле (sml[theme])
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:

Интересная информация
Последние задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Термические свойства тел0
2.Два персонажа3
3.Простой парадокс27
4.Можно ли на 4-м ходу парт...2
5.Антифразы54
6.Занимательная математика200
7.Мужики и лошадь1
8.Достаточность основания11
9.Театр одного зрителя3
10.Сигнал для управления4
1.Rostislav4812
2.Lexx4728
3.nebo3484
4.Иван3061
5.Kreativshik2472
6.никник2249
7.Гретхен1802
8.erudite-man1317
9.Valet937
10.Vita899
1.nebo115
2.Kreativshik113
3.sovetnik49
4.IQFun30
5.Pro100_Artyom27
6.MrCredo26
7.marutand20
8.хан20
9.slltllnll12
10.никник12


ГлавнаяГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовХостинг от uCoz