На тетрадном листе в клеточку я нарисовал замысловатую фигуру, площадь которой меньше площади клеточки. Докажите, что эту фигуру можно разместить так, что на её территорию не попадёт ни одного узла клетчатой решётки. IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
Это частный случай теоремы Блихфельда. Доказывается просто: пусть фигура закрашена в чёрный цвет. Заключим фигуру в прямоугольник со сторонами, совпадающими с линиями решётки. Порежем его на единичные квадратики по линиям решётки и параллельным переносом сложим все квадратики в стопку. Посмотрим эту стопку на просвет. Т.к. площать фигуры < 1, то у всех квадратиков найдётся светлая точка (не принадлежащая фигуре) на одноимённом месте. Проткнём эту стопку в этой точке и вернём квадратики на свои места. Эта точка порождает решётку, ни один узел которой не попадает на данную фигуру. Аналогично доказывается, что если площадь фигуры < N, то её можно расположить так, что на её территорию попадёт < N узлов решётки.
Вот аналогичная задачка, которая предлагалась на Московской обл. олимпиаде: 12% белой сферы закрашено в чёрный цвет. Доказать, что в эту сферу можно вписать параллелепипед, все вершины которого расположены в белых точках. IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
Доказательство чего, теоремы Блихфельда? Я и привёл идею этого док-ва. Про параллелепипед тоже просто: одна восьмая сферы (квадрант, так сказать) имеет площадь 12.5% от сферы, т.е. на ней будет белая точка. При симметриях, когда из этого квадранта получается вся сфера, эта белая точка превращается в 8 вершин нужного параллелепипеда.
Обе задачки я видел в журнале "Квант" и обе решил, поэтому запомнил. Вообще, я редко решал задачки из "задачника Кванта": больно сложные они были... IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
Я понимаю Вашу мысль, но просто подобное решение без непосредственно теоремы, выглядит как предположение) Помните как в анекдоте про Чапая: -Нутром чую что литр, а доказать не могу) Спасибо, было интересно.
Это док-во легко превращается в строгое... Здесь человек нашёл фигуру, которую нельзя сдвинуть с узлов решётки, и которая имеет площадь меньше, чем нашёл я: smekalka.pp.ru/forum/index.php?topic=3635.0 IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
Сообщение отредактировал IQFun - Вт, 11.10.16, 11:36
Значит я не способен это воспринять) задачки интересные на том ресурсе, спасибо. Для меня это звучит как: а: Данную фигуру нельзя сдвинуть с узлов сетки. я: почему? а: потому. Как то так)
Сообщение отредактировал Race - Ср, 12.10.16, 14:46
То, что фигуру площади < n можно параллельным переносом сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, я фактически доказал. Есть, кажется, другая теорема о том, что какую-то фигуру нельзя сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, есть другие аналогичные теоремы элементарной математики, надо смотреть в Сети. (Надо добавить, что диаметр этой фигуры должен быть конечным.) Есть интересная теорема о площади фигуры с вершинами в узлах решётки и т.п.
То, что hripunov не доказал это, понятно: это очень сложно. Есть в дискретной геометрии задачки, которые просто формулируются, но до сих пор их не могут доказать. Я даже не смог формально доказать, что прямоугольник 1 x sqrt(2) нельзя сдвинуть с узлов решётки. Задачка оказалась скользкая, как Штирлиц. Есть задачка о плоте минимальной площади, который может миновать поворот на 90 градусов в канале ширины 1. Есть задачка об "универсальной покрышке" - фигуре минимальной площади, которой можно накрыть любую фигуру диаметра не более 1. А эту свою задачку я, похоже, придумал первый, т.к. раньше я её не видел. IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
Сообщение отредактировал IQFun - Чт, 13.10.16, 11:06
странно, все таки, что там прямоугольник в основании, а не трехугольник. нет? Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.