Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
Страница 1 из 212»
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Сдвинуть фигуру с узлов решётки (sml[theme])
Сдвинуть фигуру с узлов решётки
IQFunДата: Суббота, 09.11.2013, 21:25 | Сообщение # 1
Гуру
Сообщений: 420
Награды: 20
Совы: 30
На тетрадном листе в клеточку я нарисовал замысловатую фигуру, площадь которой меньше площади клеточки. Докажите, что эту фигуру можно разместить так, что на её территорию не попадёт ни одного узла клетчатой решётки.

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
Arsen3108Дата: Пятница, 19.02.2016, 21:12 | Сообщение # 2
Гуру
Сообщений: 111
Награды: 6
Совы: 1
Она же меньше площади клеточки, значит эту фигуру можно передвигать по ее площади
 
IQFunДата: Понедельник, 10.10.2016, 14:56 | Сообщение # 3
Гуру
Сообщений: 420
Награды: 20
Совы: 30
Это частный случай теоремы Блихфельда. Доказывается просто: пусть фигура закрашена в чёрный цвет. Заключим фигуру в прямоугольник со сторонами, совпадающими с линиями решётки. Порежем его на единичные квадратики по линиям решётки и параллельным переносом сложим все квадратики в стопку. Посмотрим эту стопку на просвет. Т.к. площать фигуры < 1, то у всех квадратиков найдётся светлая точка (не принадлежащая фигуре) на одноимённом месте. Проткнём эту стопку в этой точке и вернём квадратики на свои места. Эта точка порождает решётку, ни один узел которой не попадает на данную фигуру. Аналогично доказывается, что если площадь фигуры < N, то её можно расположить так, что на её территорию попадёт < N узлов решётки.

Вот аналогичная задачка, которая предлагалась на Московской обл. олимпиаде: 12% белой сферы закрашено в чёрный цвет. Доказать, что в эту сферу можно вписать параллелепипед, все вершины которого расположены в белых точках.


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
RaceДата: Понедельник, 10.10.2016, 16:05 | Сообщение # 4
Гуру
Сообщений: 283
Награды: 25
Совы: 8
Очень интересно и красиво. А математическое доказательство есть? Если не слишком заумно конечно, но придумано безусловно здорово.
 
IQFunДата: Понедельник, 10.10.2016, 16:45 | Сообщение # 5
Гуру
Сообщений: 420
Награды: 20
Совы: 30
Доказательство чего, теоремы Блихфельда? Я и привёл идею этого док-ва. Про параллелепипед тоже просто: одна восьмая сферы (квадрант, так сказать) имеет площадь 12.5% от сферы, т.е. на ней будет белая точка. При симметриях, когда из этого квадранта получается вся сфера, эта белая точка превращается в 8 вершин нужного параллелепипеда.

Обе задачки я видел в журнале "Квант" и обе решил, поэтому запомнил. Вообще, я редко решал задачки из "задачника Кванта": больно сложные они были...


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
RaceДата: Вторник, 11.10.2016, 08:07 | Сообщение # 6
Гуру
Сообщений: 283
Награды: 25
Совы: 8
Я понимаю Вашу мысль, но просто подобное решение без непосредственно теоремы, выглядит как предположение) Помните как в анекдоте про Чапая: -Нутром чую что литр, а доказать не могу)
Спасибо, было интересно.
 
IQFunДата: Вторник, 11.10.2016, 11:35 | Сообщение # 7
Гуру
Сообщений: 420
Награды: 20
Совы: 30
Это док-во легко превращается в строгое... Здесь человек нашёл фигуру, которую нельзя сдвинуть с узлов решётки, и которая имеет площадь меньше, чем нашёл я: smekalka.pp.ru/forum/index.php?topic=3635.0

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Вторник, 11.10.2016, 11:36
 
RaceДата: Среда, 12.10.2016, 14:46 | Сообщение # 8
Гуру
Сообщений: 283
Награды: 25
Совы: 8
Значит я не способен это воспринять) задачки интересные на том ресурсе, спасибо.
Для меня это звучит как:
а: Данную фигуру нельзя сдвинуть с узлов сетки.
я: почему?
а: потому.
Как то так)


Сообщение отредактировал Race - Среда, 12.10.2016, 14:46
 
IQFunДата: Четверг, 13.10.2016, 10:58 | Сообщение # 9
Гуру
Сообщений: 420
Награды: 20
Совы: 30
То, что фигуру площади < n можно параллельным переносом сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, я фактически доказал. Есть, кажется, другая теорема о том, что какую-то фигуру нельзя сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, есть другие аналогичные теоремы элементарной математики, надо смотреть в Сети. (Надо добавить, что диаметр этой фигуры должен быть конечным.) Есть интересная теорема о площади фигуры с вершинами в узлах решётки и т.п.

То, что hripunov не доказал это, понятно: это очень сложно. Есть в дискретной геометрии задачки, которые просто формулируются, но до сих пор их не могут доказать. Я даже не смог формально доказать, что прямоугольник 1 x sqrt(2) нельзя сдвинуть с узлов решётки. Задачка оказалась скользкая, как Штирлиц. Есть задачка о плоте минимальной площади, который может миновать поворот на 90 градусов в канале ширины 1. Есть задачка об "универсальной покрышке" - фигуре минимальной площади, которой можно накрыть любую фигуру диаметра не более 1. А эту свою задачку я, похоже, придумал первый, т.к. раньше я её не видел.


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Четверг, 13.10.2016, 11:06
 
никникДата: Четверг, 13.10.2016, 13:12 | Сообщение # 10
Гений
Сообщений: 2075
Награды: 306
Совы: 11
странно, все таки, что там прямоугольник в основании, а не трехугольник. нет?

Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Сдвинуть фигуру с узлов решётки (sml[theme])
Страница 1 из 212»
Поиск:

Интересная информация
Обновленные задачи Сообщество эрудитов ВКонтакте Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Маленький да удаленький8
2.Роберт Скотт5
3.Занимательная математика97
4.Окружность и хорды.2
5.Построим касательные10
6.Числовая последовательнос...13
7.Мертвецы6
8.Числовая последовательнос...3
9.2 равные части5
10.Мат на бесконечной доске23
1.Rostislav4734
2.Lexx4728
3.nebo3417
4.Иван3061
5.Kreativshik2357
6.никник2075
7.Гретхен1802
8.erudite-man1294
9.Valet937
10.goliv772
1.nebo114
2.Kreativshik112
3.sovetnik49
4.IQFun30
5.Pro100_Artyom27
6.MrCredo25
7.marutand20
8.хан20
9.slltllnll12
10.Ленка11


О проектеГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовХостинг от uCoz