На тетрадном листе в клеточку я нарисовал замысловатую фигуру, площадь которой меньше площади клеточки. Докажите, что эту фигуру можно разместить так, что на её территорию не попадёт ни одного узла клетчатой решётки.
Это частный случай теоремы Блихфельда. Доказывается просто: пусть фигура закрашена в чёрный цвет. Заключим фигуру в прямоугольник со сторонами, совпадающими с линиями решётки. Порежем его на единичные квадратики по линиям решётки и параллельным переносом сложим все квадратики в стопку. Посмотрим эту стопку на просвет. Т.к. площать фигуры < 1, то у всех квадратиков найдётся светлая точка (не принадлежащая фигуре) на одноимённом месте. Проткнём эту стопку в этой точке и вернём квадратики на свои места. Эта точка порождает решётку, ни один узел которой не попадает на данную фигуру. Аналогично доказывается, что если площадь фигуры < N, то её можно расположить так, что на её территорию попадёт < N узлов решётки.
Вот аналогичная задачка, которая предлагалась на Московской обл. олимпиаде: 12% белой сферы закрашено в чёрный цвет. Доказать, что в эту сферу можно вписать параллелепипед, все вершины которого расположены в белых точках.
Доказательство чего, теоремы Блихфельда? Я и привёл идею этого док-ва. Про параллелепипед тоже просто: одна восьмая сферы (квадрант, так сказать) имеет площадь 12.5% от сферы, т.е. на ней будет белая точка. При симметриях, когда из этого квадранта получается вся сфера, эта белая точка превращается в 8 вершин нужного параллелепипеда.
Обе задачки я видел в журнале "Квант" и обе решил, поэтому запомнил. Вообще, я редко решал задачки из "задачника Кванта": больно сложные они были...
Я понимаю Вашу мысль, но просто подобное решение без непосредственно теоремы, выглядит как предположение) Помните как в анекдоте про Чапая: -Нутром чую что литр, а доказать не могу) Спасибо, было интересно.
Это док-во легко превращается в строгое... Здесь человек нашёл фигуру, которую нельзя сдвинуть с узлов решётки, и которая имеет площадь меньше, чем нашёл я: smekalka.pp.ru/forum/index.php?topic=3635.0
Сообщение отредактировал IQFun - Вт, 11.10.16, 11:36
Значит я не способен это воспринять) задачки интересные на том ресурсе, спасибо. Для меня это звучит как: а: Данную фигуру нельзя сдвинуть с узлов сетки. я: почему? а: потому. Как то так)
Сообщение отредактировал Race - Ср, 12.10.16, 14:46
То, что фигуру площади < n можно параллельным переносом сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, я фактически доказал. Есть, кажется, другая теорема о том, что какую-то фигуру нельзя сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, есть другие аналогичные теоремы элементарной математики, надо смотреть в Сети. (Надо добавить, что диаметр этой фигуры должен быть конечным.) Есть интересная теорема о площади фигуры с вершинами в узлах решётки и т.п.
То, что hripunov не доказал это, понятно: это очень сложно. Есть в дискретной геометрии задачки, которые просто формулируются, но до сих пор их не могут доказать. Я даже не смог формально доказать, что прямоугольник 1 x sqrt(2) нельзя сдвинуть с узлов решётки. Задачка оказалась скользкая, как Штирлиц. Есть задачка о плоте минимальной площади, который может миновать поворот на 90 градусов в канале ширины 1. Есть задачка об "универсальной покрышке" - фигуре минимальной площади, которой можно накрыть любую фигуру диаметра не более 1. А эту свою задачку я, похоже, придумал первый, т.к. раньше я её не видел.
Сообщение отредактировал IQFun - Чт, 13.10.16, 11:06
