Рассмотрим треугольники ADC и A₁D₁C₁. Допустим, что они не равны, а так как AK = A₁K₁, то AC ≠ A₁C₁ и AD ≠ A₁D₁, тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ не равны. Но при это не равны и AK и A₁K₁, что противоречит условию. Следовательно, треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны. Отсюда следует, что углы DAC и D₁A₁C₁ равны, DCA и D₁C₁A₁, так DC и D₁C₁ - биссектрисы, то углы ACB и A₁C₁B₁ равны, AC = A₁C₁ (что мы доказали ранее), а из этого следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁.