385,8889656665 мм². 
С помощью "Компас".

В институте учился давно, в школе еще раньше) Потому возможно пойду более сложным путем. Однако решение получу. Приступим.
Задачу, условно, можно разбить на несколько этапов.
1. Определение площади условного сегмента, примем, что она равна = S1;
2. Определение площади второго условного сегмента, примем, что она ровна S2;
3. Определение площади квадрата, ограниченного вторыми условными сегментами, примем что она ровна S3;
4. Площадь искомой фигуры примем как Sф, которая в свою очередь определяем по формуле: Sф=4S1-4S2-S3.
Этап 1.
Рис. 1.
Первый интересующий нас условный сегмент ограничен дугой В1В3 и её хордой.
Площадь сегмента равняется:
S=R²arccos(d/R)-d*sqr(R²-d²)
В нашем случае d=А1О , R=4 см.
А1О будет составлять половину диагонали исходного квадрата, а именно: А1О=5sqr2/2
Соответственно площадь первого условного сегмента будет равна: S1=1.172 см²
Этап 2.
Рис. 2.
Второй интересующий нас сегмент ограничен дугой С1С2 и её хордой.
Для определения площади сегмента С1С2, нам необходимо определить длину хорды С1С2, определим её:
D1C2=sqr(A1C2²-D1A1²)
Где А1С2=R, D1A1=А1А4/2
D1C2=3,122 см
Так как в силу симметрии D3C2=C4D1, a D3C4=C2D1,получим D3D1=2C2D1-C2C4, соответственно C2C4=2C2D1-D3D1, С2С4=1,244 см;
С1С2=С4С1=C2C4/sqr2=0,88 см;
Площадь сегмента С1С2 равняется:
S=R²arcsin(c/2R)-c*sqr(4R²-c²)/4
где R=4 см, а c=C1C2
S2=0.011 см².
3. Этап.
Определим площадь квадрата С1С2С3С34 S3=C1C2²=0.774 см²
4. Этап.
Определим площадь заштрихованной фигуры:
Sф=4S1-4S2-S3=3.87 см²
Округлял до 3го знака после запятой.
Вроде решил.
Забыл добавить, в процессе решения использовал инженерный калькулятор, так как не помню как считать обратные функции в ручную :(