1. Представьте число 365 в виде суммы квадратов двух последовательных чисел; 2. Представьте число 365 в виде суммы квадратов трех последовательных чисел? 3. Как это свойство отразилось в искусстве? 4. Найдите еще одно число с такими же свойствами, как и у числа 365.
Сообщение отредактировал ЭрудитНикита - Вс, 22.12.13, 14:51
1) решая относительно х х²+х-182=0 имеем: 365=±13²±14² 2) решая относительно х х²+2х-120=0 имеем: 365=±10²±11²±12² 3) Не в курсах 4) Этот пункт показался поначалу незатруднительным, но довольно быстро пришло осознание, что голову придётся изрядно поломать, и на истечении второго часа активной борьбы со сном и этой задачей, я уже пожинал плоды, - бессонницу и желаемое решение. Для начала запишем очевидные равенства (1.1) х²+(х+1)²+(х+2)²=у²+(у+1)² Немного почесав лоб можно записать тождество для(1.1) (1.2) (2a+1)²=6b²+24b+27 а,b∈N Ещё почесав лоб преобразуем (1.2) (1.3) ((2a+1)²+1)/2=3b²+12b+14 где правая часть равенстве(1.3) есть сумма трёх последовательных квадратов, а левая часть, есть сумма двух последовательных квадратов Вспоминая теорему Эйлера, понимаем, что искомое число сравнимо с еденицей по модулю 4, и принимая во внимание, что 3b²+12b+14≡5[mob 6],то из(1.1) имеем сравнения: х+1≡1[mob 6] y≡1[mob 6] от сюда очевидно, что искомое нами число в десятичной записи оканчивается на 5, и тогда оценивая ближайшее к 365 число с подобными свойствами приходим к выводу, что у-х=25, чего вполне достаточно, чтобы составить систему с (1.1), каторая благополучно решается через всем знакомый дискриминант. На выходе имеем: Х1,2=108, -110 У1,2=133, -134 Подставляя в (1.1) получаем на свет число 35645
Сообщение отредактировал Kreativshik - Вт, 24.12.13, 14:07
