( (1000^2010)-1)/999 в итоге будет 2010 записанных подряд единиц и при этом число будет делится на 3 То есть X у нас должен делится на 34... x=102+34=136
Все проще. 102 = 2*3*17, значит, чтобы число на него делилось, нужно, чтобы число делилось и на 2, и на 3, и на 17. Заметим интересный факт: из признака делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то тогда и все число делится на 3. Предположим, первоначальное число равно xyz (черточка сверху). Тогда сумма цифр равна x+y+z. Вполне очевидно, что сумма цифр 2010кратной записи числа равна 2010*x+2010*y+2010*z = 2010(x+y+z). Внимание: 2010 делится на 3. Значит, конечное число в любом случае делится на 3. А теперь предположим, что первоначальное число на 3 НЕ делится, но делится на 2 и 17. Делимость на 2 сохранится (см. последнюю цифру - делимость на 2 зависит лишь от нее) А вот делимость на 17 - докажем! Пусть x делится на 17. Пусть ВСЕ изначальное число равно x. Тогда конечное число равно: x+x*1000+x*1000000+...+x*10^(3*(2010-1)) = x(10+1000+1000000+...+10^(3*2009)), представим x в виде x=17k (k-целое, т.к. x на 7 делится). Тогда: 17k(все то же самое) уж точно делится на 17, т.к. это есть произведение вида 17z, где z - целое число, т.к. k и (куча фигни со степенями десятки) - числа целые. Итого. Нам нужно трехзначное число, которое делилось бы на 2 и 17, но НЕ делилось бы на 3 (тогда оно не делится на 102). Если мы его повторим 2010 раз, то, по ранее доказанному, оно мало того что начнет делится на 3, но еще и созранит делимость на 2 и 17, и, значит, будет делиться на 102. Пример такого числа - 170 (17*10), если мы запишем его 2010 раз, то сумма цифр равна (1+8)*2010, и, следовательно, конечное число делится на 3 (проверка).
Добавлено (04.06.2011, 20:52) --------------------------------------------- Забыл сказать. 17 - число простое, поэтому мы его не дробим. При разложении 102 на множители как раз получается 2*3*17.
Добавлено (04.06.2011, 20:52) --------------------------------------------- Опять забыл. Ответ: 170.
Вообще эта задача имеет решение? 
Я наугад написала
