Одна из самых интереснейших наук математики по которой мне нравится решать задачки-комбина торика и теория вероятностей, поэтому предлагаю организовать курс молодого бойца по комбинаторике и теории вероятностей. В чем будет он заключаться??? Будут выкладываться задачи начиная с азов комбинаторики и теории вероятности- допустим по 10 задач + нужная теория+ 1-2 примера решения, вы решаете -отправляете мне краткое объяснение и ответ, я их засчитываю, следующие 10 задач и т.д. Если что-то неясно кому, то разбираем подробно. Сов не обещаю, а вот наградки всегда пожайлуста. Так что если у кого есть немного времени, желание повысить свой уровень в данной науке - то пишите.
Сообщение отредактировал alexax80 - Вс, 25.09.11, 14:55
Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.
1.Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.
Рис. 1. Перестановки (варианты размещения четырех предметов по четырем ячейкам)
Число перестановок из n элементов:
2. Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m ( от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей n (n – 1) (n – 2) ... (n – m + 2) (n – m + 1) Рис. 2. Размещения (варианты размещения четырех предметов по трем ячейкам)
Количество размещений из n по k: 3.Неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует Pm размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в Pm раз: Рис. 3. Сочетания (неупорядоченные размещения) П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами. Задачи для примера: 1.На четырёх разноцветных карточках написаны буквы A, A, M, M. Ребёнок, который не умеет читать, наудачу раскладывает эти карточки в ряд. Сколько всего слов из четырёх букв он может составить? Сколько раз у него может получиться слово МАМА. Решение Сколько всего слов из четырёх букв он может составить? Количество слов равно числу перестановок из четырех букв то-есть: P4=4!=24 Сколько раз у него может получиться слово МАМА? Первую букву М мы можем выбрать 2 способами,вторую М мы берем оставшуюся (1 способ), первую букву А мы можем выбрать 2 способами,вторую А мы берем оставшуюся (1 способ). То есть количество способов по правилу произведения равно : 2*1*2*1=4 2.Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются три карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько трёхзначных чисел можно составить? Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить? Сколько трёхзначных чисел можно составить- Число 3-значных чисел равно числу размещений 3 из 5: A53=5*4*3=60 Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить: Последнюю цифру можно выбрать 2 споcобами, первую 4 способами , вторую тремя по правилу умножения всего способов: 4*3*2=24 Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить Число нечётных трёхзначных чисел =число трёхзначных чисел-число чётных трёхзначных чисел=60-24=36
Сообщение отредактировал alexax80 - Вс, 09.10.11, 19:10
Задачи для самостоятельного решения: 0.1. На четырёх разноцветных карточках написаны буквы A, A, M, M. Ребёнок, который не умеет читать, наудачу раскладывает эти карточки в ряд. Сколько всего слов из четырёх букв он может составить? Сколько раз у него может получиться слово МАМА. 0.2. На пяти разноцветных карточках написаны буквы А, А, Д, М, М. Наудачу, по одной выбираются четыре карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько слов из четырёх букв можно составить? Сколько раз получится слово МАМА? Сколько раз получится слово ДАМА? 0.3. Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются три (пять) карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно составить? Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить? 0.4. Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются по одной три (пять) карточки. Цифра, написанная на извлечённой карточке, записывается, и эта карточка перед следующим извлечением возвращается обратно. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно записать таким образом? Сколько чётных трёхзначных чисел можно записать? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно записать? 0.5. Имеются три банки с красками разных цветов. Забор можно покрасить краской из любой одной банки. Можно покрасить забор, предварительно смешав краски из любых двух банок. Можно покрасить забор, смешав краски всех трёх банок. Сколько всего вариантов цветов покраски забора можно составить? Как изменится это количество вариантов цветов, если будет четыре банки красок разных цветов? 0.6. Из колоды карт (36 штук) наудачу без возвращения извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно сделать? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»? Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти? 0.7. Из колоды карт (36 штук) наудачу по одной, возвращая каждый раз карту после фиксирования её номинала, извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно составить? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»? Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти?
0.8. В партии домино имеется 28 костей. В домино играют четыре человека, которые, начиная игру, разбирают все кости. Сколько всего вариантов разбора костей партии домино возможно? 0.9. Для «интеллектуальной» игры каждому из четырёх игроков из колоды имеющей 36 карт раздают по шесть карт. Сколько возможно вариантов раздачи карт? Как изменится это число вариантов раздачи, если игроков будет шесть? 0.10. В урне имеются 15 шаров. Из них: 6 шаров белого цвета и 9 шаров чёрного цвета. Извлекаются наудачу три шара а) с возвращением; б) без возвращения. Сколько всего наборов для каждого способа извлечения можно сделать. Сколько в каждом случае можно сделать наборов, в которых все шары будут: 1) белого цвета; 2) чёрного цвета; 3) одного цвета. 4) Сколько наборов можно сделать, в которых будут шары разных цветов? 0.11. Наудачу подбрасываются две игральных кости. Возможным исходом опыта будет пара чисел (a,b), где a и b – количества очков на верхних гранях первой и второй кости, соответственно. Опишите множество возможных исходов опыта и определите количество его элементов. Выделите на этом множестве следующие подмножества: событие A -«сумма выпавших очков равна девяти »; событие B –«сумма выпавших очков будет не больше девяти »; событие C –«на первой кости выпало чётное число очков»; событие D –«на обеих костях выпали чётные числа очков»; событие E –«сумма выпавших очков есть чётное число»; событие F –«произведение выпавших очков есть чётное число». Определите количество элементов в каждом из этих подмножеств. 0.12. В ящике находятся 100 деталей, среди которых 90 штук – хороших и 10 штук – бракованных. Наудачу для контроля отбираются шесть штук. Сколько наборов можно сделать, в которых: а) все детали – хорошие; б) все детали – бракованные; в) половина деталей – хорошие, половина деталей – бракованные.
эт скок ты там написал,я ленюсь читать...
