Я помню, что в школе слышал (и в книжках видел) такую мантру, когда что-то доказывали методом мат. индукции. Напр., доказывали, что 1+3+5+7+...+(2n-1) = n2 В конце учеников ждала мантра N 1: "НА ОСНОВАНИИ ПРИНЦИПА МАТ. ИНДУКЦИИ ЭТО ВЕРНО ДЛЯ ВСЕХ N".
А если бы какой-то отщепенец в этом засомневался, то на это была мантра N 2: ЕСЛИ ЭТО НЕВЕРНО ДЛЯ ВСЕХ N, ТО СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ N, ДЛЯ КОТОРОГО ЭТО НЕВЕРНО. НО ДОКАЗАНО, ЧТО ИЗ ТОГО, ЧТО ЭТО ВЕРНО ДЛЯ N=K СЛЕДУЕТ, ЧТО ЭТО ВЕРНО ДЛЯ N=K+1 И Т.Д. ПОЭТОМУ ВСЯКОЕ СОМНЕНИЕ ИДЕОЛОГИЧЕСКИ ОШИБОЧНО И ПОЛИТИЧЕСКИ ВРЕДНО.
ЛИРИЧ. ОТСТУПЛЕНИЕ ON Что было бы с учеником, который бы стал возражать? В этой стране и в эсэсэсре был такой интересный менталитет, что таких преподы ненавидели и могли занизить за это оценки. А советские физики рассказывают историю: годах в 40-х в СССР был физик, который спорил с теорией стационарной вселенной, которая тогда была общепринятой, и отстаивал теорию "большого взрыва". Он так увлёкся этим спором, что не заметил, как его посадили. ЛИРИЧ. ОТСТУПЛЕНИЕ OFF
Я хоть и не математик, но как-то заметил (думаю, что не я первый), что с пом. точно такой же мантры можно как дважды два доказать, что числа типа e, пи и многие другие, которые являются суммами рядов, являются рациональными. Возьмём известный ряд для пи/4 или аналогичный, в нём стоит сумма рациональных чисел. В качестве базы индукции берём первый член ряда, при n=1 имеем рациональное число. Предполагаем, что при n=k сумма n первых членов ряда рациональна, докажем, что при n=k+1 она тоже рациональна. Но это ясно, т.к. сумма двух рациональных чисел рациональна. Теперь смотрим вверх на выделенную мантру N 1 и потираем руки. А если какой-то ученик в этом засомневается, то тогда у нас наготове будет мантра N 2. А чем мы хуже советских преподов?
У меня тоже возникает сомнение: не слишком ли здорово доказано, что это верно для всех N? Может быть, это доказывает, что это верно для любого наперёд заданного N?
В чём ошибка этих мантр? В том, что доказательство методом мат. индукции не доказывает, что это верно для всех N, но неверно из этого делать вывод о существовании такого N, для которого доказываемая формула неверна. Не всегда игра с актуальной бесконечностью кончается хорошо. Кое-кто, не будем называть фамилии, хотя, это были Кантор и Гёдель, закончили, соответственно, псих. лечебницей/ящиком. А Кантор сначала думал, что своим "диагональным аргУментом" ухватил бога за бороду. Если кто не знает, Кантор из своей находки делал далекоидущие философские и религиозные выводы.
Сообщение отредактировал IQFun - Ср, 14.08.24, 13:35
Да, совокупность свойств всех родов не всегда исчерпывает свойства класса состоящего из этих родов. Но, я бы не стал обобщать Ваш личный опыт на всех учителей СССР.
Кстати, я на днях послушал некоторые рассказы и повести из сборника Николая Внукова "Динамис мобилис". Когда я сидел в школе, у меня была такая книжка. ru.wikipedia.org/wiki/Внуков,_Николай_Андреевич Я скачивал этот сборник в mp3 с rulit.me/books/dinamis-mobilis-get-338557.html Гугл пишет, что удалил ссылки по запросу правообладателей, но ссылку выше выдаёт на 1-й стр., видимо,она недавно появилась. В других местах можно слушать онлайн, напр.: knigavuhe.org/book/dinamis-mobilis/ Там фантастич. повесть "Энтомоптер" начинается с 33-го файла, за ней идёт повесть "Фотография Архимеда". Перед ними имеются рассказики. Действие происходит в г. Минеральные Воды, примерно в 1962 г. Это повести для детей и юношества. У Внукова очень точно передана психология тогдашних людей и атмосфера жизни. Нехорошая учительница, пример которой я приводил выше, там тоже есть. Рекомендую послушать.
Добавлено (14.05.25, 13:07) --------------------------------------------- Я некоторое время искал опровержения "диагонального метода" и возражения на него. Такое чувство, что, условно говоря, опровергают "люби", а возражают и поясняют доказательство "профи".
Сначала замечу, как надо понимать бесконечность. Вот здесь в комментариях сказано: === imho, самое интересное осталось за бортом - возражения Пуанкаре были, но далеко не ко всем работам, типа много лет Пуанкаре использовал результаты Кантора например в работах по фуксовским функциям, немецкие математики такие как Kronecker например возражали намного более резко, заметим в первом приближении возражении Пуанкаре сводились к несогласию рассматривать бесконечность как нечто реально существующее, он считал подобно Гауссу, что бесконечность типа удобная абстракция не более - Гаусс писал: " I protest first of all against the use of an infinite quantity as a completed one, which is never permissible in mathematics. The infinite is only a fayon de parler, where one is really speaking of limits to which certain ratios come as close as one likes while others are allowed to grow without restriction " ===
Гугл переводчик переводит Гаусса так: === Я протестую прежде всего против использования бесконечной величины как завершенной, что никогда не допускается в математике. Бесконечность — это только манера говорить, где на самом деле говорят о пределах, к которым некоторые соотношения подходят так близко, как хочется, в то время как другим позволено расти без ограничений. ===
Как я уже писал, древние греки были мудры и не использовали актуальной бесконечности. Например, они определяли прямую, как отрезок, который можно неограниченно продлевать в обе стороны. например, две прямые сходятся под углом в 1 градус, но на чертеже они не пересекаются. Можно их продлевать до тех пор, пока они не пересекутся. Если они сходятся в 0,0...01 секунды, то земного шара может не хватить для такого чертежа, но этим можно пренебречь и МЫСЛЕННО продлевать их до пересечения. Можно даже вычислить, где они пересекутся, т.к. множество чисел тоже можно наращивать неограниченно. Также можно пернебречь тем, что для этого продлевания прямых может потребоваться очень много времени, пусть даже больше времени жизни Вселенной, это не принципиально. А вот предположение о существовании завершённой бесконечной величины это уже принципиально.
Существует ли актуальная бесконечность физически? Физики говорят, что "Вселенная почти наверняка конечна".
Похоже, что математикам это ограничение мешает развивать математику, поэтому они вслед за Кантором предполагают существование актуальной бесконечности. Но за это приходится платить парадоксами типа Банаха - Тарского, в котором шар можно математически разделить на части, из которых потом можно сложить два таких же точно шара, а также другими парадоксами. Кроме этого, насколько я знаю, непротиворечивость канторовской теории множеств не доказана. Т.е. это такая игрушка типа мощного языка Perl, который разрабатывается бесплатно и не гарантируется, что в нём нет ошибок. Кстати, я когда-то находил в нём довольно грубые ошибки, особенно в регулярных выражениях, писал об этом создателям Перла и они их признавали и исправляли. Поэтому для серьёзных программ, скажем, для управления атомной электростанцией или наоборот, "Мёртвой рукой", Перл не совсем кстати.
Здесь на моё возражение === при "диагональном методе" актуальная бесконечность представляется в законченном виде ===
кто-то вроде математика ответил === AFAIK, в серьёзной математике «актуальная бесконечность» возникает только при неформальном объяснении каких-то идей или построений. Так-то всё формально: есть теория, есть аксиомы, если теорема, есть доказательство. ===
А здесь я нашёл как раз тот спор и те аргументы, что искал. И здесь "профи" ясно показывают, что в основе "диагонального метода" лежит актуальная бесконечность без всяких афаиков. Здесь спор между "профи" и "люби" происходит по известному принципу: одни говорят, что кто-то стриженый, а им возражают: нет, бритый.
Кратко возражения "люби": пусть для простоты, используем 2-ную с-му, начинаем генерировать последовательности нулей и единиц (двоичные дроби действительных чисел отрезка [0, 1]) полным перебором, напр., при n = 2 имеем
00 01 10 11
Ясно, что в этом случае диагональный метод не проходит. Также ясно, что в этой табличке строк будет 2^n, а столбцов лишь n. Остаётся, как говорится, устремить n к бесконечности. Ни при каком n не находится число, которого нет в табличке, поэтому сомнительно, чтобы при "бесконечном" n оно найдётся.
А теперь читаем один из "моментов истины" от "профи" на вышеприведённой странице: === Vladimir Pliassov, я кажется догадываюсь почему Вам не нравится диагональное доказательство несчётности множества последовательностей нулей и единиц. Вероятно потому, что оно неконструктивно. Об этом же свидетельствуют Ваши сомнения в существовании бесконечности, которые мне вполне понятны.
Действительно, множество конструктивно определённых последовательностей нулей и единиц -- счётно, а значит данный диагональный аргумент по отношению к нему не сработает. И дело действительно в бесконечностях: Любая конструктивно определённая последовательность определяется конечной формулой. А когда мы принимаем диагональное доказательство, то исходим из предположения, что пронумерованы все последовательности, включая такие, которые невозможно определить конечной формулой (что бы это ни значило). ===
Т.е предполагается, что существует табличка со всеми бесконечными последовательностями 0 и 1 и все они пронумерованы натуральными числами. Только после этого находися противоречие. Это напоминает фразу "если дважды два равно пяти, то существуют ведьмы (и можно доказать всё)".
Существует другое доказательство теоремы Кантора: с пом. "принципа" последовательности сходящихся отрезков. Который и был придуман специально для подобных случаев. Откуда берутся принципы и аксиомы о действительных числах? Из интуиции: ведь никто не видел пи или е предметов, но все видят 1, 2, 3 и т.п. предметов. Здесь самое смешное то, что Кантор определял множество как объекты мысли и интуиции.
Отсюда вывод: мифическое множество действит. чисел было придумано для удобства, иначе не получается непрерывность и дифф. и прочие исчисления. Актуальную бесконечность не получается представить без противоречий. Как я писал, ещё др. греки заметили, что множество точек числовой прямой, не имеющих размера, имеет бесконечно большой размер.
Также бросается в глаза, что на форуме dxdy, в отличие от этого, не переводят разговор на того, кто имеет другое мнение. Этот переход характерен для холопского населения бывшего (бывшего как раз по этой причине) СССРа: мол, я аноним, поэтому могу кого-то обгавкать на форуме и получить от этого своё холопье удоволствие.
Добавлено (14.05.25, 13:28) --------------------------------------------- А это мои выводы, во всяком случае я не видел их у других:
1. Существование взимно-однозначного отображения множества на свою собств. часть сомнительно. Напр., возьмём отображение множества натуральных чисел на множество чётных чисел. Оно сомнительно, потому для очередного натурального числа придётся тянуться всё дальше за соотв. чётным числом, беда в том, что величина этого очередного чётного числа стремится к бесконечности в 2 раза быстрее, чем очередное нат. число.
2. "Гранд-отель Гильберта" с бесконечным числом 1-местных номеров, все из которых заняты, можно пополнить конечным числом людей. Но при попытке пополнить его бесконечным числом людей расстояния, которые должны будут преодолевать люди при переселении, стремятся к бесконечности, поэтому переселение никогда не закончится. (Если начать рассуждать с конечного числа номеров, не допуская акт. бесконечности, то мысленно придётся добавлять и добавлять номера до бесконечности).
3. Распространённое элементарное доказательство расходимости гармонического ряда ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд#Доказательство_Орема сомнительно, потому что количество слагаемых в квадратных скобках стремится к бесконечности.
Ещё можно добавить парадокс Ахилла и черепахи, который возникает от того, что расстояния между ними измеряются величиной, которая стремится к нулю.
Но, как говорится, на вкус и цвет товарища нет: кому-то эти доказательства и парадоксы покажутся несомненными.
Кстати, насколько я знаю, Кантор, похоже, не знал (успел умереть) о существовании парадокса Рассела (который был найден до него), получивший название парадокса парикмахера/брадобрея.
Сообщение отредактировал IQFun - Ср, 14.05.25, 13:43
как на китайском...
