Есть интересные места в математике, в которых, как говорится, ломаются копья. Например, "диагональный метод Кантора".
Легко найти видео, на котором пузатый препод доказывает эту "изящную "теорему"" и при этом делает замечание, что неоднозначности в десятичной записи дробей типа 0,9999... можно обойти, приравняв это число к 1,0000... Интересно было бы узнать, как можно доказать на основании аксиом арифметики, что 0,9999... = 1,0000... Попробуйте это сделать. Мне кажется, что это равенство может быть только принято как аксиома (или отвергнуто).
Сообщение отредактировал IQFun - Сб, 29.01.22, 19:59
Интересно было бы узнать, как можно доказать на основании аксиом арифметики, что 0,9999... = 1,0000...
ЦитатаIQFun ()
Мне кажется, что это равенство может быть только принято как аксиома (или отвергнуто).
Какая к чёрту аксиома, что за наивные рассуждения?Определить какое-то число равным чему-то, как аксиому, это просто нонсенс, подобной математической безграмотности я ещё не встречал.
У нас есть непрерывное и упорядоченное поле вещественных чисел, и здесь нельзя искусственно что-то принять, всё что есть в этом поле не должно противоречить чему-то иному в математике. А если мы всё подряд будем принимать на веру, то ни к чему хорошему это явно не приведёт. Здесь именно доказывать нужно иначе никак.
У нас есть число например π, после запятой у него бесконечное число разрядов, а значит мы не можем игнорировать иные числа с такими особенностями, и получается нам просто необходимо принимать во внимание число 0.(9). Как уже было сказано, вещественные числа упорядоченные.
0.(9), очевидно не больше 1, тогда остаётся два варианта, оно либо меньше 1 либо равно 1. Если 0.(9) меньше единицы, то можно указать число меньшее 1 и большее 0.(9), однако какое бы число меньшее 1 мы не указали , всегда есть возможность его аппроксимировать с помощью числа 0.9999.. указав необходимое число 9 после запятой.
Таким образом, если 0.(9) не больше 1 и не меньше её, то очевидно 0.(9)=1, другого варианта не остаётся, нам просто приходится это признать.
А если мы пришли к такому выводу, что 0.(9) это вообще какая-то значимая величина, то это число должно подчиняться всем арифметическим, алгебраическим и иным операциям и не приводить к противоречию.
Например пусть:
Умножим это число на 10
Теперь из получившегося числа вычтем начальное число
Всё упрастив наконец получаем
Получается, что действительно 1=0.99999…и приходится с этим считаться.
Попробуем проверить еще раз
имеем сумму членов убывающей геометрической прогрессии.
Сумма эта находится по известной со школы формуле:
Где q — это знаменатель прогрессии, он в нашем случае равен 1/10, а b1— это первый член прогрессии, в нашем случае он равен 9/10.
Подставляем эти значения в формулу и получаем
Опять приходим к тому что 0.(9)=1. И здесь деваться уже некуда, если мы говорим что подобная запись числа 0. (9), имеет смысл, то неминуемо приходим к выводу что это иная запись числа 1.
Однако если мы действительно сделаем финт ушами, то используя всё те же аргументы мы придём к действительно сшибающим с ног выводам, которые так же придётся принять как и равенство 0(9)=1, т.к. будем применять те же аргументы.
Например, вот один из действительно финтов: Если мы принимаем 0.(9) как имеющее смысл число, тогда нам ничего не мешает записать бесконечное множество девяток слева от десятичной точки.
Имеет ли смысл число ...9999 ?
Т. Е. получается это число 9+9*10+9*100+9*1000…записанное с меньшего разряда, т.е. с конца, ведь начало оно где-то там в бесконечности, и записать его не представляется возможным.
В таком случае получается что число…99999.999999… равно 0, т.к. 0.(9)=1 и получается, что ...99999+1=....000000
можно проверить в столбик:
Но тогда получается что ...99999=-1
Или что тоже самое,9+9*10+9*100+...=-1
Или (9).0=-1 Подобный вывод ломает неокрепший мозг?
Может где-то ошибка, попробуем тот же алгебраический аргумент, который использовали ранее. Обозначим чере X число ...9999
Умножим это число на 10
Вычтем X из получившегося
И тогда получаем
т. е. получаем что ...9999=-1и ни какой ошибки нет.
Проверим ещё раз через формулу суммы членов геометрической прогрессиит.к
то b1=9, а q=10 Тогда подставляя в формулу, получаем:
Опять тот же результат, тогда еготочно так же нужно признать как и равенство0.(9)=1, т.к. мы использовали те же аргументы.
Но ведь в первом случае с числом 0.9999… , дописывая всё больше и больше 9 , получающееся число всё ближе подходит к 1, и как бы естественно выглядит что 0.(9)=1, но ведь число 9+9*10+9*100+... как бы всё дальше и дальше от -1, однако мы приходим к тому, что …99999=-1 Если в первом случае смысл равенства вполне ясен, то в чем же смысл равенства ...9999=-1 ? Вы IQFun, как думаете? Кстати эти рассуждения, дают решение вот к этой задаче
Сообщение отредактировал Фигаро - Вс, 30.01.22, 22:29
Но заниматься этими основаниями матанализа нет времени, тем более, что за это не платят
Так может в этом главная проблема, вы не задумывались?
Мне кажется или вы заблудились в своих желаниях? То вы не хотите ничего изучать так как вам за это не платят, то вы всё же хотите в чём-то разобраться так как любопытно как тому слонику, вы уж определитесь. Или вы хотите чтобы я проводил для вас ликбез, так вы мне за это тоже не заплатите, поэтому видимо стоит хоть что-то почитать, и возможно, если хоть что-то освоите, то вероятно перекратите плодить кучу невежественного текста? Раз уж у вас вопросы к равенству 0.(9)=1 возникают, то предлагаю прям со школьной программы и начать, с матаном это вы крайне переоценили себя.
Я думаю, что действия над числами вида ...999 должны быть сначала определены
Если эти числа имеют хоть какой-то смысл, то над ними можно совершать всё те же элементарные арифметические операции к которым все привыкли со школы. Можете заглянуть в вики, там эти операции строго определены, если вдруг забыли.
Сообщение отредактировал Фигаро - Пн, 31.01.22, 23:26
Мне кажется, что это равенство может быть только принято как аксиома (или отвергнуто).
