В прямоугольнике АВСD, провели диагональ ВC Вполне очевидно что АВС=ВСD, однако начнём вращать этот прямоугольник вокруг СD Получим конус вписанный в цилиндр Из выше следующего очевидно предположить, что объём конуса занимает ½ объема цилиндра, Однако со школы известно, что объём цилиндра V=πr²h, а объём конуса V=⅓*πr²h. Так почему ⅓ а не ½
Встречный вопрос: почему одинаковым значениям периметров могут соответствовать разные площади.
Добавлено (25.02.2018, 19:03) --------------------------------------------- Кабы мы двигали наш прямоугольник по прямой, то получили бы параллелипед, в котором объем уголка действительно равнялся бы половине объема всей фигуры. Но двигаем мы его по окружности и тут получается, что точки "кверхногами треугольника" проходят вдвое больший путь, чем точки треугольника, образующего конус, т.к. центр тяжести нижнего треугольника ближе к оси вращения, чем центр тяжести верхнего.
Сообщение отредактировал никник - Вс, 25.02.18, 19:39
Что объем будет меньше, понятно на примере пирамиды и призмы. Формулу для объема пирамиды с треугольным основанием, в том числе правильной, легко получить. Затем устремив число вершин основания к бесконечности получить аналогичную формулу для конуса... Но вот как красиво объяснить, не знаю.
Вот этот "кверх ногами" треугольник даст нам объёмную фигуру вокруг конуса с вогнутой поверхностью.
Да, любознательно, конечно, было бы разрезать этот цилиндр с вырезанным конусом, на бесконечно тонкие треугольники и попытаться сложить их, как в 2 конуса, так и в один такой же но вдвое более плотный конус. И получить из одного апельсина полтора? Но это не так, в том то и дело что даже бесконечно малое перемещение фигуры по окружности нельзя заполнить плоской фигурой, в отличии от бесконечно малого перемещения по прямой, имхо. хотя надо бы посмотреть, что получается в неэвклидовой сферической геометрии.
Сообщение отредактировал никник - Пн, 26.02.18, 11:17
Рассмотрим прямую полуправильную призму ABCA1B2C1 2 грани правильные треугольники, 3 квадраты. Рассечем её плоскостью АВС1. Получим некоторую пирамиду ABCC1, в которой основание правильный треугольник, а СС1 является высотой. Предположим что объем пирамиды можно вычислить по формуле: V=kSоснh, для пирамиды будем иметь: VABCC1=ka3sqrt3/4 Аналогично найдем объем второй пирамиды, оставшейся от призмы, с основанием ABA1B1: VABA1B1=ka3sqrt3/2
Найдем объем призмы: V=a3sqrt3/4=3ka3sqrt3/4 => k=1/3 Устремим кол-во вершин основания к бесконечности, формула объема пирамиды перейдет в формулу объема конуса. Кстати из данного доказательства следует, что формула будет справедлива не только для конуса у которого основание высоты совпадает с центром окружности, но и для конуса с произвольно расположенной высотой.
Сообщение отредактировал Race - Пн, 26.02.18, 17:20
Встречный вопрос: почему одинаковым значениям периметров могут соответствовать разные площади.
Периметр с площадью никак не связан. Встречный вопрос: а к чему Ваш встречный вопрос? Здесь никто не утверждает, что площадь связана с объёмом, здесь логика такая Разрезав вписанный в цилиндр конус плоскостью проходящей через вершину и центр основания конуса, мы всегда увидим одну и ту же картину, От сюда и вопрос.
Цитатаникник ()
о двигаем мы его по окружности и тут получается, что точки "кверхногами треугольника" проходят вдвое больший путь, чем точки треугольника, образующего конус,
Что объем тела, полученного перемещением фигуры, можно представить, как произведение ее площади на среднеарифметическое путей пройденных каждой ее точкой. А среднеарифметическое путей, в свою очередь, равно пути пройденному центром тяжести.
