Вспомним последовательность чисел Фибоначчи: 1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;... Она начинается с двух единиц, и каждый элемент, начиная с третьего,равен сумме двух предыдущих. Немного изменим правила: потребуем, чтобы первый элемент последовательности был равен единице, второй - произвольно выбранному действительному числу, а каждый элемент, начиная с третьего - разности двух предыдущих (из левого элемента вычитается правый). Получается семейство числовых последовательностей, каждая из которых однозначно определена выбором второго элемента. Вот несколько последовательностей данного семейства: 1;1;0;1;-1;2;-3;5;-8;13;-21;34;-55;... 1;0,5;0,5;0;0,5;-0,5;1;-1,5... 1;0,7;0,3;0,4;-0,1...
Как видите, практически при любом выборе второго элемента в последовательности встречаются как положительные, так и отрицательные числа (а также, возможно, элементы, равные нулю). Однако существует, и притом единственное, действительное число, которое, будучи выбранным в качестве второго элемента, дает последовательность, все элементы которой являются строго положительными числами.
Найдите это исключительное число и докажите, что оно единственно.
а,b,a-b,2b-a,2a-3b, 5b-3a, 5a-8b, 13b-8a, 13a-21b Отсюда видно, что искомое b должно быть больше (и меньше обратного) отношения двух максимальных чисел Фибоначи (*а, но оно у нас =1). А это отношение, как известно выражается золотым сечением. То есть b = ((корень из 5) -1)/2, примерно = 0, 618
Сообщение отредактировал никник - Чт, 12.01.17, 11:15
Точнее, b есть число, обратное к Ф=1,618... и на единицу меньшее его: b = 1/Ф = Ф - 1 = 0,618... Учитывая, что 1 - b = b2, b - b2 = b3 и т. д., получаем последовательность {1; b; b2; b3 ...}, все элементы которой, как целые неотрицательные степени положительного числа, являются положительными числами. Осталось доказать, что b - единственное число, обладающее требуемыми свойствами.
Сообщение отредактировал Marija_Konstantinovna - Пт, 13.01.17, 18:59
