Я снова с Вами) Итак) Задача выложена на ресурсе минимум с 2011 года. Решения ей нету до сих пор, автором приведен лишь ответ. Выкладываю решение.
На самом деле подобная задача всегда будет иметь решение, при условии что шар движется по идеальной поверхности (трения нет) и инерция не изменяется при соприкосновении с бортами. Авторское решение тут не выложено, есть только ответ. Попробую более понятно объяснить да и привести решение данной задачи. Берем бесконечный стол с произвольными сторонами, производим построение возможной траектории движения шара. Видим что точки соприкосновения с бортами имеют определенный шаг, равный 2 метрам, какого бы мы размера не выбрали стол этот шаг не изменится. От общего переходим к частному, уменьшаем бесконечный стол до конечного. Видим, что если стороны стола прилегающие к углу из которого стартовал шар не кратны 2м, то шар имеет возможность попасть только в угол который диагонально противоположен исходному. Если же одна сторона кратна 2м, а вторая нет, то видим что шар имеет возможность попасть только в тот угол который лежит на той же кратной стороне что и изначальный, так как на все другие углы траектория движения не попадает. Если же обе стороны кратны 2, то применяем решением изначально упростив его, то момента когда на 2 одна или обе стороны уже не делятся. Для упрощения понимания достаточно произвести элементарные геометрические построения:
Добавлено (03.10.2016, 14:22) --------------------------------------------- Задача Шахматная доска
Ответ указан неправильно. Но в комментарии #4, на мой взгляд правильный, по крайней мере я не смог построить большую окружность. Собственно вопрос, каким образом была решена эта задача в #4 комментарии? Ответ у меня получился такой же, но вот решение другое и приведенное я не в состоянии понять. sqrt[(2sqrt2)2+(4sqrt2)2]=2sqr10 - мое решение; sqrt(42+62)=2sqr10 - решение из #4, О_О объясните пожалуйста. Все понял))) Ужс, математика велика)
Задача Равносторонний треугольник. А давайте действительно сложим (построим этот треугольник) понятное дело что такая трапеция для равностороннего треугольника может быть только одна, причем стороны и верхнее основание у нее равны между собой, а угол между основанием и стороной 600. Решение:
Приведенное выше решение чисто интуитивное. Теперь математическое.
Пусть основания трапеции это a и b, а стороны c и d, в нашем случае b=c=d=x a=x+2x*cos600=2х Соответственно для построения необходимо поделить все стороны треугольника на 3 равные части, через полученные точки, а именно 1 отрезок от каждого угла взятый или по или против часовой стрелки) провести прямые (параллельные сторонам), по полученным прямым строим наши трапеции, профит), для наглядности рисунок)
Я снова с Вами) Итак) Задача выложена на ресурсе минимум с 2011 года. Решения ей нету до сих пор, автором приведен лишь ответ. Выкладываю решение
А давайте решим подобную задачу: Есть бильярдный прямоугольный стол (со сторонами a,b) с лузой в одном углу из которого запускают шар под некоторым углом α. При каком условии, шар никогда не попадёт в лузу? Отражение шара абсолютно упруго, трением пренебрегаем.
Собственно вопрос, каким образом была решена эта задача в #4 комментарии?
С помощью теоремы Пифагора. Полторы длины стороны клетки,- один катет, половина стороны клетки,- другой катет, гипотенуза,- радиус искомой окружности. От сюда сразу решение для случая со стороной клетки n, - r=n√2,5
Сообщение отредактировал Kreativshik - Пн, 03.10.16, 22:36
Шар никогда не попадет в лузу только при условии что он попадет в любой другой угол? Исключение если альфа равен 900 и шар сразу отражается в лузу.
Добавлено (04.10.2016, 08:31) --------------------------------------------- С другой стороны, если попадание шара в другой угол приводит к отражению шара на тот же угол под которым он попадает в угол то я даже не знаю что предложить, при упругом соприкосновении, в теории, шар все равно должен продолжить движение даже после попадания в другой угол.
Добавлено (04.10.2016, 09:05) --------------------------------------------- Так попробуем математически описать движение шара по столу. По y он перемещается в области 0;b по x в области 0;a, формулу движения шара по столу можно записать как y=x*tgα, после достижения y значения b, шар отражается под тем же углом, движение шара можно выразить формулой y=2b-x*tgα (для xє[b*tgα;2b*tgα] при достижении y нулевого значения, шар снова отразится, формула его движения можно будет описать как y=-2b*tgα+x*tgα для xє и так далее, видим что удобнее выражать уравнение движения мяча по х, так как диапозон y в нашем случае будет (0;b). Если решать задачу не используя высшую математику, то решение можно получить разщве что привязавшись к периоду отражения шара от борта (расстоянию которое шар проходит по оси х, за которое значение y достигает b), который равен p=b*tgα, позволю себе предположить, что при определенном отношении p к а, шари никогда не отразится ни в один из углов, что будет равнозначно тому, что шар не отразится в изначальную лузу. К примеру tgα=sqrtC, если результат иррационален, то чисто теоретически, шар не попадет ни в одну лузу. Естественно при рациональных a и b.
Добавлено (04.10.2016, 09:38) --------------------------------------------- x=y*ctgα yє(0;b) x=2b*tgα-y*ctgα yє(b;0) Период 2b*tgα, х вернулся в 0, и так далее, тогда для возрастающей функцию можно описать как: x=2n*b*tgα+y*ctgα, nє[0;до бесконечности) а для убывающей как: х=(2n+2)*b*tgα-y*ctgα В момент достижения x значения а шар отразится, сдвинув функцию на определенную часть периода, если отношение этой части периода к периоду можно выразить рационально, то рано или поздно шар попадет либо сразу в лузу или же в 1 из углов, что в итоге приведет его в лузу, если же иррационально, то в лузу шар уже не попадет, либо попадет при стремящемся в бесконечность количестве отражений.
Добавлено (04.10.2016, 11:52) --------------------------------------------- Посидел, подумал, пришел к выводу, что путь который пройдет шар от одной стороны стола до другой всегда будет один и тот же, он будет равняться l=a*sinα, можно ли это, применить при решении, не понятно, но само наблюдение кажется мне интересным, как вариант, получаем треугольник, где одна сторона -а(более широкая сторона стола, пусть будет а), вторая путь шара l=a*sinα, а третья с=a*tgα. Если отношение катетов полученного треугольника можно выразить рациональным числом, то шар рано или поздно попадет в лузу, если же число будет иррациональным, то нет. Это все конечно верно при условии что a и b рациональные числа.
Добавлено (04.10.2016, 12:03) --------------------------------------------- Так же можем вычислить количество отражений шара, за 1 полное прохождение всей длины стола, оно будет ровняться n*b*tgα=a n=(a/b)*ctgα если n-целое число, то шар сразу отражается в один из противоположных углов, если выражается рационально, то рано или поздно мы получим ситуацию, когда шар попадает либо в 1 из углов, либо в лузу. Проверим. К примеру n=10+3/6, видим что период отражения сместился на 3/6p, соответственно за следующее отражение он сместится еще на 3/6, и шар попадет в угол или лузу. Аналогично с любой дробью, в итоге получим попадание в лузу или угол.
Добавлено (04.10.2016, 12:06) --------------------------------------------- И последнее, шар вообще может попасть в лузу только в том случае если он отразится от любого другого угла под тем же углом под которым в него вошел, в итоге шар повторит всю траекторию своего движения и попадет в стартовую лузу. Если же угол под которым шар отбивается от любого угла изменяется то я не вижу способа решить данную задачу вообще.
Добавлено (04.10.2016, 12:24) --------------------------------------------- Вообще в идеале, движение шара по столу, можно сравнить с движением колеса по окружности, на окружности есть 4 отметки (3 угла и луза), на колесе 1 гвоздь, задача сводится к определению возможности попадания гвоздя в любою из 4х отметок. Математически это можно выразить, мысль крутится у меня в голове)), так же известно период, с каким гвоздь оставляет отметки на окружности, он равен длине окружности колеса.
Сообщение отредактировал Race - Вт, 04.10.16, 11:53
Поправка, имеем окружность длинной а. И окружность с длинной n*b*tgα>a Окружность а движется по с. Исходная точка касания - А. Задача сводится к возможности возвращение точки А окружности а в точку А окружности С. Подобную задачу мы решали недавно. (la/lc)*2П*N=2П*k где требуется найти минимально возможное значение n (натуральное число), для которого k будет натуральным. (la/lc)*N=k Где k будет кол-во прохождения шара по столу, N - в данном случае должно быть минимальным натуральным числом при котором натуральным будет k (a/(n*b*tgα))*N=k В нашем случае длину окружности с можно выразить еще и как lc=a+x, где х -это часть периода отражения шара, на который смещается наша функция. (a/(n*b*tgα))*N=k Так как все произвольные величины кроме tgα можно выразить рациональными числами, то условием попадания шара в любой угол будет то что tgα можно выразить рационально.
При решении данной задачи мною были сделаны предположения: 1. a,b - можно выразить рационально. 2. Шар от любого угла отражается под тем же углом под которым в него попадает. Сразу на ум приходит еще 1 вариант. В общем задача решена мною, при условии, что вариант отражения от угла а)(Рис.1). Если правильно б)(Рис.1), то будем думать дальше. Рис. 1.
Решение можно было получить еще и тут, на мой взгляд, если есть такое значение Z и D (натуральные числа) что будет выполняться равенство: Z*b*tgα=D*a, то шар рано или поздно попадет в 1 из углов, а значит и в лузу. Все мысля окончилась. Если отражение в углу проходит по варианту б) то размышления продолжу завтра.
Добавлено (05.10.2016, 10:40) --------------------------------------------- В принципе, даже не обязательно что бы стороны a и b можно было выразить рационально, достаточно того, что бы период на который смещается уравнение движения шара, рано или поздно мог сдвинуть уравнение таким образом, что бы n-й общий период совпал с началом или концом отрезка a.
Добавлено (05.10.2016, 16:00) --------------------------------------------- Сколько коррупционеров найдется среди сотни депутатов, если по крайней мере один из них честен, но в любой паре народных избранников по крайней мере один — коррупционер?
Я очень извиняюсь, что встреваю. Если вопрос о бильярде, заданный Kreativshik, был только для Race, то не читайте под спойлером.
Для того, чтобы шар никогда не вернулся назад в лузу, откуда начал свой путь, необходимо условие, чтобы траектория шара была непериодической, а именно, tgα должен быть несоизмерим с отношением сторон а/b, то есть tg наклона диагонали прямоугольника делённый на tgα, должен быть иррациональным числом. Если пользоваться методом зеркальных отражений, то видно, что в случае периодической траектории, всегда, пусть и через множество отражений, траектория будет такой, что шар обязательно вернётся в исходную точку.
Сообщение отредактировал nebo - Ср, 05.10.16, 16:49
Если пользоваться методом зеркальных отражений, то видно, что в случае периодической траектории, всегда, пусть и через множество отражений, траектория будет такой, что шар обязательно вернётся в исходную точку.
Задача для всех) в принципе я её решил, если из угла шар отразится под таким же углом как и попадет в него. И в принципе пришел к такому же выводу как и вы) Но вот если в углу шар отражается зеркально.... То даже и не знаю. Ваша гипотеза учитывает зеркальное отражение шара из угла?
Добавлено (05.10.2016, 19:38) --------------------------------------------- Для зеркального отражения шара из угла: Общем условием попадания шара в один из углов будет n*a*tgα=k*b при зеркальном отражения шара из одного угла начинает работать немного измененная формула, а именно: n1*b*tgα=k1*a И так до попадания шара в любой другой угол кроме того в котором он уже был, после чего если следующий угол куда попадает шар не является искомой лузой и шар снова отражается от другого угла мы возвращаемся к 1й формуле, даже коэффициенты n и k будут теми же самыми. Таким образом шар будет отражаться соответственно первой либо второй формуле до попадания его в начальную лузу. Для определения в какой именно угол попадет шар перед отражением используем коэффициенты n и k. Каким именно образом не нужно подсказывать?)
Сообщение отредактировал Race - Ср, 05.10.16, 19:39
Для частного случая когда шар ударяется о каждый из бортов всего один раз за цикл, понятно, что шар не вернется в лузу, если запущен изз нее иначе, как по диагонали стола.вот думаю нельзя ли из этого индуцировать общий случай.
Добавлено (06.10.2016, 00:59) --------------------------------------------- 1 депутат
nebo, абсолютно верно.
