Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
Страница 4 из 9«12345689»
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Занимательная математика (sml[theme])
Занимательная математика
KreativshikДата: Среда, 21.09.2016, 17:46 | Сообщение # 31
Гений
Сообщений: 2357
Награды: 247
Совы: 112
greeting bravo dance nebo,  абсолютно верно.

Жёлтый Зелёный Красный
 
RaceДата: Понедельник, 03.10.2016, 14:22 | Сообщение # 32
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4
Я снова с Вами)
Итак)
Задача выложена на ресурсе минимум с 2011 года. Решения ей нету до сих пор, автором приведен лишь ответ. Выкладываю решение.


Добавлено (03.10.2016, 14:22)
---------------------------------------------
Задача Шахматная доска
Прикрепления: 7760807.jpg(184Kb)


Сообщение отредактировал Race - Понедельник, 03.10.2016, 17:27
 
RaceДата: Понедельник, 03.10.2016, 15:05 | Сообщение # 33
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4
Задача Равносторонний треугольник.
А давайте действительно сложим (построим этот треугольник) понятное дело что такая трапеция для равностороннего треугольника может быть только одна, причем стороны и верхнее основание у нее равны между собой, а угол между основанием и стороной 600.
Решение:
Прикрепления: 0445416.jpg(157Kb)
 
RaceДата: Понедельник, 03.10.2016, 15:51 | Сообщение # 34
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4
Приведенное выше решение чисто интуитивное.
Теперь математическое.
Прикрепления: 0447276.jpg(100Kb)
 
KreativshikДата: Понедельник, 03.10.2016, 23:42 | Сообщение # 35
Гений
Сообщений: 2357
Награды: 247
Совы: 112
Цитата Race ()
Я снова с Вами)
Итак)
Задача выложена на ресурсе минимум с 2011 года. Решения ей нету до сих пор, автором приведен лишь ответ. Выкладываю решение

А давайте решим подобную задачу:
Есть бильярдный прямоугольный стол (со сторонами a,b) с лузой в одном углу из которого запускают шар под некоторым углом α.
При каком условии, шар никогда не попадёт в лузу?
Отражение шара абсолютно упруго, трением пренебрегаем.

Добавлено (03.10.2016, 23:42)
---------------------------------------------

Цитата Race ()
sqrt(42+62)=2sqr10

√(4²+6²)2√10
Цитата Race ()
Собственно вопрос, каким образом была решена эта задача в #4 комментарии?

С помощью теоремы Пифагора. Полторы длины стороны клетки,- один катет, половина стороны клетки,- другой катет, гипотенуза,- радиус искомой окружности.
От сюда сразу решение для случая со стороной клетки n, - r=n√2,5


Жёлтый Зелёный Красный


Сообщение отредактировал Kreativshik - Понедельник, 03.10.2016, 22:36
 
RaceДата: Вторник, 04.10.2016, 12:24 | Сообщение # 36
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4
Цитата Kreativshik ()
С помощью теоремы Пифагора.

Да, спасибо, я уже разобрался) Просто я, как обычно, пошел кружным путем и выразил радиус окружности по другому.

Над бильярдным шаром будем думать, правда если для решения данной задачи необходимо использовать высшую математику, то решить её у меня нету шансов.

Добавлено (04.10.2016, 08:08)
---------------------------------------------
Цитата Kreativshik ()
При каком условии, шар никогда не попадёт в лузу?

Шар никогда не попадет в лузу только при условии что он попадет в любой другой угол? Исключение если альфа равен 900 и шар сразу отражается в лузу.

Добавлено (04.10.2016, 08:31)
---------------------------------------------
С другой стороны, если попадание шара в другой угол приводит к отражению шара на тот же угол под которым он попадает в угол то я даже не знаю что предложить, при упругом соприкосновении, в теории, шар все равно должен продолжить движение даже после попадания в другой угол.

Добавлено (04.10.2016, 09:05)
---------------------------------------------
Так попробуем математически описать движение шара по столу.
По y он перемещается в области 0;b по x в области 0;a, формулу движения шара по столу можно записать как y=x*tgα, после достижения y значения b, шар отражается под тем же углом, движение шара можно выразить формулой y=2b-x*tgα (для xє[b*tgα;2b*tgα] при достижении y нулевого значения, шар снова отразится, формула его движения можно будет описать как y=-2b*tgα+x*tgα для xє и так далее, видим что удобнее выражать уравнение движения мяча по х, так как диапозон y в нашем случае будет (0;b).
Если решать задачу не используя высшую математику, то решение можно получить разщве что привязавшись к периоду отражения шара от борта (расстоянию которое шар проходит по оси х, за которое значение y достигает b), который равен p=b*tgα, позволю себе предположить, что при определенном отношении p к а, шари никогда не отразится ни в один из углов, что будет равнозначно тому, что шар не отразится в изначальную лузу.
К примеру tgα=sqrtC, если результат иррационален, то чисто теоретически, шар не попадет ни в одну лузу. Естественно при рациональных a и b.

Добавлено (04.10.2016, 09:38)
---------------------------------------------
x=y*ctgα yє(0;b)
x=2b*tgα-y*ctgα yє(b;0)
Период 2b*tgα, х вернулся в 0, и так далее, тогда для возрастающей функцию можно описать как:
x=2n*b*tgα+y*ctgα, nє[0;до бесконечности)
а для убывающей как:
х=(2n+2)*b*tgα-y*ctgα
В момент достижения x значения а шар отразится, сдвинув функцию на определенную часть периода, если отношение этой части периода к периоду можно выразить рационально, то рано или поздно шар попадет либо сразу в лузу или же в 1 из углов, что в итоге приведет его в лузу, если же иррационально, то в лузу шар уже не попадет, либо попадет при стремящемся в бесконечность количестве отражений.

Добавлено (04.10.2016, 11:52)
---------------------------------------------
Посидел, подумал, пришел к выводу, что путь который пройдет шар от одной стороны стола до другой всегда будет один и тот же, он будет равняться l=a*sinα, можно ли это, применить при решении, не понятно, но само наблюдение кажется мне интересным, как вариант, получаем треугольник, где одна сторона -а(более широкая сторона стола, пусть будет а), вторая путь шара l=a*sinα, а третья с=a*tgα. Если отношение катетов полученного треугольника можно выразить рациональным числом, то шар рано или поздно попадет в лузу, если же число будет иррациональным, то нет.
Это все конечно верно при условии что a и b рациональные числа.

Добавлено (04.10.2016, 12:03)
---------------------------------------------
Так же можем вычислить количество отражений шара, за 1 полное прохождение всей длины стола, оно будет ровняться
n*b*tgα=a n=(a/b)*ctgα если n-целое число, то шар сразу отражается в один из противоположных углов, если выражается рационально, то рано или поздно мы получим ситуацию, когда шар попадает либо в 1 из углов, либо в лузу. Проверим.
К примеру n=10+3/6, видим что период отражения сместился на 3/6p, соответственно за следующее отражение он сместится еще на 3/6, и шар попадет в угол или лузу. Аналогично с любой дробью, в итоге получим попадание в лузу или угол.

Добавлено (04.10.2016, 12:06)
---------------------------------------------
И последнее, шар вообще может попасть в лузу только в том случае если он отразится от любого другого угла под тем же углом под которым в него вошел, в итоге шар повторит всю траекторию своего движения и попадет в стартовую лузу.
Если же угол под которым шар отбивается от любого угла изменяется то я не вижу способа решить данную задачу вообще.

Добавлено (04.10.2016, 12:24)
---------------------------------------------
Вообще в идеале, движение шара по столу, можно сравнить с движением колеса по окружности, на окружности есть 4 отметки (3 угла и луза), на колесе 1 гвоздь, задача сводится к определению возможности попадания гвоздя в любою из 4х отметок. Математически это можно выразить, мысль крутится у меня в голове)), так же известно период, с каким гвоздь оставляет отметки на окружности, он равен длине окружности колеса.

Сообщение отредактировал Race - Вторник, 04.10.2016, 11:53
 
RaceДата: Среда, 05.10.2016, 16:00 | Сообщение # 37
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4
Поправка, имеем окружность длинной а.
И окружность с длинной n*b*tgα>a
Окружность а движется по с. Исходная точка касания - А. Задача сводится к возможности возвращение точки А окружности а в точку А окружности С.
Подобную задачу мы решали недавно.
(la/lc)*2П*N=2П*k
где требуется найти минимально возможное значение n (натуральное число), для которого k будет натуральным.
(la/lc)*N=k
Где k будет кол-во прохождения шара по столу, N - в данном случае должно быть минимальным натуральным числом при котором натуральным будет k
(a/(n*b*tgα))*N=k
В нашем случае длину окружности с можно выразить еще и как lc=a+x, где х -это часть периода отражения шара, на который смещается наша функция.
(a/(n*b*tgα))*N=k Так как все произвольные величины кроме tgα можно выразить рациональными числами, то условием попадания шара в любой угол будет то что tgα можно выразить рационально.

При решении данной задачи мною были сделаны предположения:
1. a,b - можно выразить рационально.
2. Шар от любого угла отражается под тем же углом под которым в него попадает.
Сразу на ум приходит еще 1 вариант.
В общем задача решена мною, при условии, что вариант отражения от угла а)(Рис.1).
Если правильно б)(Рис.1), то будем думать дальше.

Рис. 1.

Добавлено (04.10.2016, 18:30)
---------------------------------------------

Цитата Race ()
n*b*tgα=a n=(a/b)*ctgα

Решение можно было получить еще и тут, на мой взгляд, если есть такое значение Z и D (натуральные числа) что будет выполняться равенство:
Z*b*tgα=D*a,
то шар рано или поздно попадет в 1 из углов, а значит и в лузу.
Все мысля окончилась. Если отражение в углу проходит по варианту б) то размышления продолжу завтра.

Добавлено (05.10.2016, 10:40)
---------------------------------------------
В принципе, даже не обязательно что бы стороны a и b можно было выразить рационально, достаточно того, что бы период на который смещается уравнение движения шара, рано или поздно мог сдвинуть уравнение таким образом, что бы n-й общий период совпал с началом или концом отрезка a.

Добавлено (05.10.2016, 16:00)
---------------------------------------------
Сколько коррупционеров найдется среди сотни депутатов, если по крайней
мере один из них честен, но в любой паре народных избранников по
крайней мере один — коррупционер?

Прикрепления: 3365426.jpg(34Kb)


Сообщение отредактировал Race - Вторник, 04.10.2016, 13:07
 
neboДата: Среда, 05.10.2016, 16:47 | Сообщение # 38
Высший разум
Сообщений: 3394
Награды: 312
Совы: 110
Я очень извиняюсь, что встреваю. Если вопрос о бильярде, заданный Kreativshik, был только для Race, то не читайте под спойлером.


Сообщение отредактировал nebo - Среда, 05.10.2016, 16:49
 
RaceДата: Среда, 05.10.2016, 19:38 | Сообщение # 39
Гуру
Сообщений: 210
Награды: 18
Совы: 4


Добавлено (05.10.2016, 19:38)
---------------------------------------------
Для зеркального отражения шара из угла:
Общем условием попадания шара в один из углов будет
n*a*tgα=k*b
при зеркальном отражения шара из одного угла начинает работать немного измененная формула, а именно:
n1*b*tgα=k1*a
И так до попадания шара в любой другой угол кроме того в котором он уже был, после чего если следующий угол куда попадает шар не является искомой лузой и шар снова отражается от другого угла мы возвращаемся к 1й формуле, даже коэффициенты n и k будут теми же самыми.
Таким образом шар будет  отражаться соответственно первой либо второй формуле до попадания его в начальную лузу.
Для определения в какой именно угол попадет шар перед отражением используем коэффициенты n и k. Каким именно образом не нужно подсказывать?)


Сообщение отредактировал Race - Среда, 05.10.2016, 19:39
 
никникДата: Четверг, 06.10.2016, 00:59 | Сообщение # 40
Гений
Сообщений: 1943
Награды: 285
Совы: 10
Для частного случая когда шар ударяется о каждый из бортов всего один раз за цикл, понятно, что шар не вернется в лузу, если запущен изз нее иначе, как по диагонали стола.вот думаю нельзя ли из этого индуцировать общий случай.

Добавлено (06.10.2016, 00:59)
---------------------------------------------
1 депутат


Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Занимательная математика (sml[theme])
Страница 4 из 9«12345689»
Поиск:

Интересная информация
Обновленные задачи
Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Последовательность1
2.Чудо-Юдо и три головы7
3.Добрый тролль4
4.Каково соотношение площад...0
5.Математическое равенство7
6.Еще одна задача на постро...0
7.Построим касательные.4
8.Любви Вам9
9.Как заморозить воду ?3
10.Четырехугольник0
1.Lexx4728
2.Rostislav4638
3.nebo3394
4.Иван3061
5.Kreativshik2357
6.никник1943
7.Гретхен1802
8.erudite-man1289
9.Valet937
10.goliv772
1.Kreativshik112
2.nebo110
3.sovetnik49
4.IQFun28
5.Pro100_Artyom27
6.marutand20
7.хан20
8.MrCredo13
9.slltllnll12
10.Ленка11


О проектеГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум Эрудитов