Вы не чувствуете тяжести Солнца, потому что и вы и Земля находитесь на орбите вокруг Солнца. Нахождение на орбите означает то, что вы ускоряетесь в сторону Солнца так же, как вы бы ускорились при свободном падении.

Скажем, у вас есть небольшой кусок мрамора. Если вы бросите мрамор, он ускорится по направлению к земле из-за силы тяжести Земли. Теперь представьте, что вы находитесь в лифте на верхнем этаже высотного здания и трос обрывается. При отсутствии трения или сопротивления воздуха, мрамор, подброшенный вверх, как и вы с лифтом, будет падать. Но мрамор, как вам может показаться, плавает в невесомости - т.е. вы не можете чувствовать силу тяжести, так как Вы, мрамор и лифт будут ускоряться с одинаковой скоростью. Аналогично, если вы находитесь в пространстве вокруг Солнца и подбрасываете мрамор, вы и мрамор ускоряетесь по направлению к Солнцу с одинаковой скоростью, так что вы не почувствуете силы тяжести Солнца.

Все становится немного сложнее, поскольку сила тяжести зависит от расстояния, поэтому в случае с мрамором, если вы потянете за дно, то будете чувствовать более сильное напряжение, чем, если потянете за верх. А что, если мрамор размером с Землю? Тяга Солнца сильнее на ближней стороне и слабее на противоположной стороне. Это различие (градиент) в гравитационное притяжение является то причиной приливов. Оказывается, несмотря на то, что гравитационная силы Луны на Земле гораздо меньше, чем Солнечная, она (сила) имеет больший гравитационный градиент (поскольку градиент получается как 1 / R ^ 3 и силу, равную 1 / R ^ 2), а, значит, имеет большее влияние на приливы.

Для решения некоторых из предыдущих ответов:
Как было отмечено, ускорение свободного падения на Солнце очень мало, около 0,006 м / с ^ 2 по сравнению с земным (9,8 м / с ^ 2). Вам придётся поразмышлять об этих числах, если вы захотите узнать, какой мощности ракета вам потребуется, чтобы летать на определённом расстоянии вокруг каждой из планет. Вам потребуется довольно мощная ракета, чтобы парить над поверхностью Земли, но хватит и меньшей мощности, чтобы полетать выше Солнца на 150 миллионов километров.

Однако, если вы на орбите вокруг Солнца на том же расстоянии (150 млн. км), вам не нужна ракета вообще. Вы будете свободно падать по направлению к Солнцу. К счастью, в это же время на орбите имеется перпендикулярная скорость, что гарантирует, что во время как свободного падения, вы будете находиться на одинаковом расстоянии от Солнца.