Всем привет. Данная задача - это упрошенная версия одной интересной задачи. Надеюсь понравится. Если что-то подобное было то удаляйте.
Эрудиту было откровенно скучно на лекции по физике. Два компаньона на «пульку» нашлись тут же, за соседней партой. Андрей и Игорь друзья эрудита еще с физмат лицея. Ребята увлеклись игрой и были пойманы с поличным. Физичка обиделась сильно и пообещала, что на сессии припомнит им данную игру. И ведь не обманула.
На зимней сессии, на зачете, она взяла их зачетки и сказала, что у них будет общее «игровое» задание.
Случайным образом я перед вами троими кладу на стол ваши зачетные книжки. Каждый из вас по очереди может взять в руки любую зачетку, открыть, посмотреть чья она, закрыть и положить ее на место. После чего показываете, где как вы думаете лежит ваша зачетная книжка. Если вы все трое правильно указываете на свои зачетки, то получаете зачет «автоматом».
Эрудит сказал друзьям, что ведь по факту у каждого их них шансы угадать 2/3, а значит вероятность получения «автомата» 66,7%. Еще и пошутил вдогонку - "Хорошо, что Серега был на больничном и «пульку» писали на троих".
Вопрос: не ошибся ли эрудит в вычислении вероятности получения «автомата»? Какова вероятность получения «автомата», если бы ребят было четверо?
Сообщение отредактировал freews - Пт, 27.01.23, 23:24
Эрудит сказал друзьям, что ведь по факту у каждого их них шансы угадать 2/3, а значит вероятность получения «автомата» 66,7%.
Насколько я понимаю формулировку, Эрудит ошибся во всем. У них разные вероятности угадать. У первого 2/3, у последнего 1, у второго - лень считать. Но если бы посылка была верной, это значило бы, что вероятность получения автомата (2/3)3 то есть чуть меньше 30 процентов.
Если вы все трое правильно указываете на свои зачетки, то получаете зачет «автоматом»
Цитатаfreews ()
Вопрос: не ошибся ли эрудит в вычислении вероятности получения «автомата»?
Ошибся. Вероятность правильного выбора своих зачёток всеми тремя равна 1/3. Т.к для первого 2/3, для второго 1/2, для последнего 1, в итоге 2/3*1/2*1=1/3
Цитатаfreews ()
Какова вероятность получения «автомата», если бы ребят было четверо?
Не считал но уверен что 1/4, т.к вероятность выбрать или указать на свою зачётку увеличивается для каждого следующего студента, но "автомат" они получают только если все правильно указали свои зачётки, а значит все имеющиеся вероятности для каждого нужно перемножить и в итоге их четверо и позиций четыре поэтому видимо 1/4
Фигаро, Вас не смущает, что в Ваших расчетах, вероятность угадать у 2го меньше чем у первого? Оо). При правильной стратегии, если 1й угадает свою зачётку верно, то и 2 остальных определят свою со стопроцентной точностью. В итоге общая вероятность угадать = вероятности для первого = 2/3. А для 4, вероятность как раз 1/3=1 /2 *2/3 *1*1. Если только они не смухлюют
Сообщение отредактировал никник - Чт, 09.03.23, 10:17
Фигаро, Вас не смущает, что в Ваших расчетах, вероятность угадать у 2го меньше чем у первого?
Да, смущает, не пойму что я здесь посчитал вообще.
Цитатаникник ()
общая вероятность угадать = вероятности для первого = 2/3.
Нет, она явно ниже, это однозначно. Она чуть более половины, а именно 7/12. В начале есть три сценария дальнейшего развития: 1. Первый сразу берет свою зачётку. 2. Первый берёт не свою зачётку, но потом верно на неё указывает. 3. Первый берёт не свою зачётку и указывает не на свою. В первом сценарии студенты однозначно получают "автомат". Таким образом в формулу общей вероятности запишем 1/3. В третьем сценарии студенты остаются ни с чем.
При реализации второго сценария ,существует четыре возможных комбинации трех зачеток. Учитывая то, что студент, выбирающий вторым, понимает, что выбранная первым студентом первая зачётка оказалась не его(не первого студента), то выбрать свою зачётку с двух попыток второй студент сможет с вероятностью 3/4. Итого, при реализации первого сценария, вероятность получить "автомат" равна 1, при реализации второго сценария 3/4, при реализации третьего сценария 0. Вероятность реализации каждого сценария равна 1/3.Таким образом, полная вероятность того, что студенты получат "автомат", равна: (1/3)*1+(1/3)*(3/4)+(1/3)*0=7/12
Сообщение отредактировал Фигаро - Чт, 09.03.23, 22:03
Фигаро, я не совсем понимаю Ваши суждения, поэтому подробно приведу свои:
ЦитатаФигаро ()
В начале есть три сценария дальнейшего развития:1. Первый сразу берет свою зачётку. 2. Первый берёт не свою зачётку, но потом верно на неё указывает. 3. Первый берёт не свою зачётку и указывает не на свою. В первом сценарии студенты однозначно получают "автомат". Таким образом в формулу общей вероятности запишем 1/3.В третьем сценарии студенты остаются ни с чем.
Согласен. И здесь (однозначно) вроде бы видно, что Вы понимаете, что 2й студент в любом случае выбирает из 2 оставшихся зачеток. Ему просто нет смысла указывать на ту, что уже опознал товарищ, как свою. Это верный проигрыш. Из этих 2, одну он может отмести, просто посмотрев какую то из этих 2. Остается 1. Третьему и смотреть ни в 1 не надо. Но вот здесь:
ЦитатаФигаро ()
Учитывая то, что студент, выбирающий вторым, понимает, что выбранная первым студентом первая зачётка оказалась не его(не первого студента), то выбрать свою зачётку с двух попыток второй студент сможет с вероятностью 3/4.
Вы, вроде, этого не понимаете. "выбранная первым студентом первая зачётка " так понимаю, что речь идет о выбранной для просмотра, а не признанной своей. Но повторюсь, ему даже понимать этого не надо. Ему достаточно откинуть признанную. Поэтому вероятность 1.
ЦитатаФигаро ()
Вероятность реализации каждого сценария равна 1/3.
Почему? Мы понимаем, что 2 и 3 сценарий не могут случиться, если случился первый. А вот триггер первого никак не зависит от последующих событий. Технически студент может посмотреть в свою зачетку, а опознать чужую. Просто он этого не сделает в силу разумности.
Мое решение таково: 1/3, что 1й студент посмотрел в свою зачетку, 1/2, что в противном случае из 2 оставшихся он выбрал свою. Таким образом, вероятность его верного выбора: 1/3 + 1/2 - (1/3)*(1/2) (это несовм. события)= 2/3. Его друзья действуют же так, будто 100 процентно знают, что он опознал правильно. И поэтому, если он опознал правильно, они стопроцентно опознают правильно.
Есть, однако, кое-что, что смущает меня и в своих рассуждениях. Условие, можно понять и так, что сначала все смотрят по одной зачетке и только потом каждый выбирает свою. В этом случае второй студент смотрит зачетку, еще не зная, какую опознает первый. И тут он вроде выбирает другую, а первый студент при опознании в любом случае опознает не выбранную вторым. И все сходится. Но вот для случая с 4я студентами, я уже не пойму, что получается.
Сообщение отредактировал никник - Пт, 10.03.23, 18:16
Алгебру событий изучите пожалуйста. Вычитать можно только из полной группы несовместных событий, и полная группа всегда ровна 1.
Цитатаникник ()
Почему?
Потому что для первого студента(тот кто выбирает первым) есть три сценария развития событий и они равновероятны, поэтому реализация каждого из них 1/3. Введите в поисковике: "Теория вероятностей для чайников", и вы найдете все ответы на интересующие вас подобные вопросы. Последний раз повторяю своё решение для 3 студентов: При реализации второго сценария , второй студент(назавём его В) не знает наверняка, (как собственно и первый студент(П), и третий(Т)), показал ли П именно на свою зачётку. Но при этом В знает точно, что выбранная П первая зачётка не является зачёткой П, т.к. он осуществил право на второй выбор. Таким образом существует четыре варианта комбинаций зачёток. Для примера будем считать что П изначально выбрал зачётку номер 1: Не трудно заметить, что с какой бы зачётки не начал свой выбор В, вероятность найти/ показать свою зачётку равна для В= 3/4. Т.о получается, что при реализации первго сценария, В и Т, находят свои зачётки с вероятностью 1. При реализации второго сценария В находит свою зачётку с вероятностью 3/4, а Т с вероятностью 1. При реализации третьего сценария , "автомат" студенты получают с вероятностью 0. Таким образом имеем: (1/3)*1*1+(1/3)*(3/4)*1+(1/3)*0=7/12
