x, y, z >2 A, B, C имеют общий делитель. А коли так, то: 274+1623=97
ЦитатаKreativshik ()
где A, B, C, x, y, z натуральные и x, y, z больше двух, то А, В, С имеют простой делитель!
не пойму, а в чем разница? 9 же - не простое число,ну и неизбежно, если число имеет "сложный" делитель,то имеет и простой.Или суть в том,что число должно быть произведением 2х "сложных" чисел,т.е. как минимум 4-х простых (необязательно разных)из которых ни одно не равно 1?
Так как A, B и C делятся на одно и то же число, то они имеют общий делитель, который также делит левую часть уравнения, то есть делит x. Аналогично, этот делитель также делит z и y.
Пусть общий делитель A, B и C равен D. Тогда:
A = D * a B = D * b C = D * c
где a, b и c — некоторые положительные целые числа.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
D * a * x = D * c * z - D * b * y
Так как D является общим делителем всех коэффициентов, то можно сократить его:
a * x = c * z - b * y
Заметим, что правая часть уравнения делится на D, значит и левая часть тоже должна делиться на D. Но мы уже знаем, что x делится на D, следовательно, a тоже должно делиться на D.
Получается, что D является еще и делителем числа a. Аналогично, D является делителем чисел b и c.
Теперь мы можем выписать все возможные варианты a, b и c, которые удовлетворяют ограничениям:
a, b, c > 0 A = D * a > D B = D * b > D C = D * c > D x > 2D y > 2D z > 2D
Так как a, b и c — делители D, их можно записать в виде:
a = D * p b = D * q c = D * r
где p, q и r — некоторые положительные целые числа.
Тогда уравнение принимает вид:
D * p * x = D * r * z - D * q * y
p * x = r * z - q * y
Мы уже знаем, что p, q и r должны удовлетворять ограничениям:
p, q, r > 0 x > 2D/p y > 2D/q z > 2D/r
Осталось рассмотреть все возможные комбинации p, q и r.
Пусть p = 1. Тогда из уравнения p * x = r * z - q * y следует, что r * z - q * y должно делиться на p = 1, то есть на любое число. Таким образом, для любых положительных z и y, удовлетворяющих ограничениям, можно подобрать такое r и q, что условие будет выполняться.
Аналогично рассуждаем для p > 1. Пусть сначала q = 1. Тогда из уравнения p * x = r * z - q * y следует, что r * z должно делиться на p. Далее, условие z > 2D/r означает, что r должно быть меньше, чем 2D/z. То есть может быть только конечное число возможных значений r. Значит, для большинства z можно выбрать такое r, что условие будет выполняться.
Аналогично рассуждаем для всех остальных комбинаций p, q и r.
Таким образом, для любых положительных целых A, B, C, x, y и z, удовлетворяющих ограничениям, уравнение Ax + By = Cz имеет бесконечное число решений.
