По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудален от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудален от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудаленные машины находились по разные стороны от наблюдателя.) (Спойлер приветствуется)
Приним обозначения т - момет времени, в который Москвич сравнялся с наблюдателем. т' - момент времени, в который с наблюдателем сравнялась Нива. т'' - момент времени, в который с наблюдателем сравнялся Запорожец. Sз - расстояние от Запорожца до наблюдателя в момент времени т Sн - расстояние от наблюдателя до Нивы в момент времени т Sз' - расстояние от наблюдателя до Запорожца в момент времени т' Sм' - расстояние от наблюдателя до Москвича в момент времени т' Sн'' - расстояние от наблюдатель до Нивы в момент времени т'' Sм'' - расстояние от наблюдатель до Москвича в момент времени т'' Из условий: 1) Sз=Sн 2) Sз'=Sм' Докажем что Sн''=Sм'' Т.к. скорости постоянны, то справедливы следующие пропорции: 3) (Sз-Sз')/Sз=Sм'/Sм'' 4) (Sз-Sз')/Sз'=Sн/Sн'' 5) Из 1, 3 имеем: Sм''=(Sм'*Sн)/(Sз-Sз') 6) Из 2, 4 имеем: Sн''=(Sн*Sм')/(Sз-Sз') Из 5, 6 следует Sм''=Sн'' , ч.т.д
Т.к. по условиям задачи скорости машин постоянны, следовательно, пройденные ими пути будут в линейной зависимости от времени. Исходя из вышесказанного, можно иллюстрировать решение задачи на следующем графике: З1,З2,З3 График пути Запорожца; М1,М2,М3 График пути Москвича; Н1,Н2,Н3 График пути Нивы; По условиям задачи: 1) в момент встречи наблюдателя с москвичом в точке 0 (начало координат) З1М1=М1Н1; 2) в момент встречи наблюдателя с Нивой З2Н2=Н2М2=АМ1=М1В=СЗ3=З3Д; Из 1 и 2 следует путь пройденный за Т1 Нивой до его встречи с наблюдателем – М1Н1=М1В+З1А (сумма путей пройденных Москвичом и Запорожцем за тот же промежуток времени Т1), а отсюда в свою очередь следует что скорость Нивы равно сумме скоростей Москвича и запорожца – VН=VМ+VЗ ; 3) в момент встречи наблюдателя с Запорожцем: путь пройденный за Т2 Нивой будет – СЗ3+СН3, а сумма путей пройденных Москвичом и Запорожцем за тот же промежуток времени Т2 Будет – СЗ3+ДМ3, т.к. VН=VМ+VЗ то следовательно – СЗ3+СН3=СЗ3+ДМ3; СН3=ДМ3, а это значит что: З3Н3=З3М3 – что и требовалось докозать…
Оказывается всё намного проще … Из условий задачи следует, что момент t встречи наблюдателя с Нивой имеет место следующее равенство: StN = StM + StZ, т.е. путь пройденный Нивой равно сумме путей пройденных Москвичом и Запорожцем, а так как у нас движение всех трёх машин равномерное то данное условие будет справедливо для любого фиксированного момента времени. Следовательно, для момента T будет иметь место следующее: STN = STM + STZ т.е. ST1 + 2S0 = S0 + ST2 + S0 = 2S0 + ST2; Следовательно: ST1 = ST2; В принципе это то что и требовалось доказать т.к отсюда однозначно следует что в момент T встречи наблюдателя с Запорожцем, Москвич и Нива были равноудалены от него…
Попытаемся дать так же и не графическое решение задачи: Момент-Т1: Москвич находится в точке Наблюдателя, а Запорожцу и Ниве осталось пройти до Наблюдателя одинаковое расстояние; Момент-Т2: Нива находится в точке Наблюдателя, т.е. он прошёл путь, которое предстояло пройти Запорожцу до Наблюдателя в Момент-Т1, а т.к. Запорожец за то же время пройдя определённый путь находился от Наблюдателя на том же расстоянии, что и Москвич с противоположной стороны, следовательно путь пройденный Нивой за промежуток времени (Т2 – Т1) равно сумме путей Москвича и Запорожца пройденных за тот же промежуток времени. Т.е. скорость Нивы равно сумме скоростей Москвича и Запорожца. Момент-Т3: Запорожец дошёл до Наблюдателя пройдя путь равное расстоянию Москвича от Наблюдателя в Момент-Т2, а т.к. мы уже выяснили что скорость Нивы равно сумме скоростей Москвича и Запорожца, значит путь пройденный им в рассматриваемом промежутке времени (Т3 – Т2) так же будет равно сумме путей Москвича и Запорожца пройденных за тот же промежуток времени. Следовательно, в Момент-Т3 Нива и Москвич будут равноудалены от Наблюдателя и находящегося там Запорожца… Что и требовалось доказать…
Первый момент времени см. рис.1 - из условия задачи. Второй момент времени см. рис.2, пусть он призошел через время t. В этот момент времени Нива прошла растояние L, Запорожец какую-то часть растояния L, пусть 1/m. Значит Москвич прошел (1-1/m) часть пути или L-L/m. Третий момент времени см. рис.3. Запорожцу понадобилось mt времени, относительно первого момента времени. Значит Нива пройдет mL растояние, но от наблюдателя она будет на растоянии mL-L т.к. с др. стороны находится от наблюдателя нежели была в первый момент времени. А Москвич пройдет m(L-L/m)=mL-L и следовательно и будет на этом растоянии от наблюдателя. Следовательно Нива и Москвич будут на одинаковом расстоянии от наблюдателя.
Ух, если я так понял по рисунку,расстояние пройденное Нивой от точки наблюдателя должно быть равно расстоянию пройденному Москвичом от точки наблюдателя, то есть: Lm = L-L/m+mL-L Lm = L-L/m+mL-L Lm <> mL-L/m явно неравенство???
расстояние пройденное Нивой от точки наблюдателя должно быть равно расстоянию пройденному Москвичом от точки наблюдателя
Нет, совсем нет. На растояния на рисунке просьба не обращать внимания. Нарисовано только взаимное расположение. Второй момент времени расстояния пройденные: Нива L, Запорожец L/m, Москвич (1-1/m)L (1). Третий момент времени:Нива проехала относительно первого момента времени mL растояние, но в первый момент времени она была справа а теперь слева от наблюдателя, значит теперь она на расстоянии mL-L от наблюдателя. Москвич m*выражение(1)=m(1-1/m)L=mL-L. Что и требовалось доказать.
