Логин:Пароль:
FAQ по форумуНовые сообщения на Форуме
Страница 1 из 212»
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Сдвинуть фигуру с узлов решётки (sml[theme])
Сдвинуть фигуру с узлов решётки
IQFunДата: Суббота, 09.11.2013, 21:25 | Сообщение # 1
Гуру
Сообщений: 404
Награды: 19
Совы: 28
На тетрадном листе в клеточку я нарисовал замысловатую фигуру, площадь которой меньше площади клеточки. Докажите, что эту фигуру можно разместить так, что на её территорию не попадёт ни одного узла клетчатой решётки.

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
Arsen3108Дата: Пятница, 19.02.2016, 21:12 | Сообщение # 2
Гуру
Сообщений: 100
Награды: 4
Совы: 1
Она же меньше площади клеточки, значит эту фигуру можно передвигать по ее площади
 
IQFunДата: Понедельник, 10.10.2016, 14:56 | Сообщение # 3
Гуру
Сообщений: 404
Награды: 19
Совы: 28
Это частный случай теоремы Блихфельда. Доказывается просто: пусть фигура закрашена в чёрный цвет. Заключим фигуру в прямоугольник со сторонами, совпадающими с линиями решётки. Порежем его на единичные квадратики по линиям решётки и параллельным переносом сложим все квадратики в стопку. Посмотрим эту стопку на просвет. Т.к. площать фигуры < 1, то у всех квадратиков найдётся светлая точка (не принадлежащая фигуре) на одноимённом месте. Проткнём эту стопку в этой точке и вернём квадратики на свои места. Эта точка порождает решётку, ни один узел которой не попадает на данную фигуру. Аналогично доказывается, что если площадь фигуры < N, то её можно расположить так, что на её территорию попадёт < N узлов решётки.

Вот аналогичная задачка, которая предлагалась на Московской обл. олимпиаде: 12% белой сферы закрашено в чёрный цвет. Доказать, что в эту сферу можно вписать параллелепипед, все вершины которого расположены в белых точках.


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
RaceДата: Понедельник, 10.10.2016, 16:05 | Сообщение # 4
Гуру
Сообщений: 209
Награды: 18
Совы: 4
Очень интересно и красиво. А математическое доказательство есть? Если не слишком заумно конечно, но придумано безусловно здорово.
 
IQFunДата: Понедельник, 10.10.2016, 16:45 | Сообщение # 5
Гуру
Сообщений: 404
Награды: 19
Совы: 28
Доказательство чего, теоремы Блихфельда? Я и привёл идею этого док-ва. Про параллелепипед тоже просто: одна восьмая сферы (квадрант, так сказать) имеет площадь 12.5% от сферы, т.е. на ней будет белая точка. При симметриях, когда из этого квадранта получается вся сфера, эта белая точка превращается в 8 вершин нужного параллелепипеда.

Обе задачки я видел в журнале "Квант" и обе решил, поэтому запомнил. Вообще, я редко решал задачки из "задачника Кванта": больно сложные они были...


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.
 
RaceДата: Вторник, 11.10.2016, 08:07 | Сообщение # 6
Гуру
Сообщений: 209
Награды: 18
Совы: 4
Я понимаю Вашу мысль, но просто подобное решение без непосредственно теоремы, выглядит как предположение) Помните как в анекдоте про Чапая: -Нутром чую что литр, а доказать не могу)
Спасибо, было интересно.
 
IQFunДата: Вторник, 11.10.2016, 11:35 | Сообщение # 7
Гуру
Сообщений: 404
Награды: 19
Совы: 28
Это док-во легко превращается в строгое... Здесь человек нашёл фигуру, которую нельзя сдвинуть с узлов решётки, и которая имеет площадь меньше, чем нашёл я: smekalka.pp.ru/forum/index.php?topic=3635.0

IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Вторник, 11.10.2016, 11:36
 
RaceДата: Среда, 12.10.2016, 14:46 | Сообщение # 8
Гуру
Сообщений: 209
Награды: 18
Совы: 4
Значит я не способен это воспринять) задачки интересные на том ресурсе, спасибо.
Для меня это звучит как:
а: Данную фигуру нельзя сдвинуть с узлов сетки.
я: почему?
а: потому.
Как то так)


Сообщение отредактировал Race - Среда, 12.10.2016, 14:46
 
IQFunДата: Четверг, 13.10.2016, 10:58 | Сообщение # 9
Гуру
Сообщений: 404
Награды: 19
Совы: 28
То, что фигуру площади < n можно параллельным переносом сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, я фактически доказал. Есть, кажется, другая теорема о том, что какую-то фигуру нельзя сдвинуть так, что на её территорию попадёт < n узлов, есть другие аналогичные теоремы элементарной математики, надо смотреть в Сети. (Надо добавить, что диаметр этой фигуры должен быть конечным.) Есть интересная теорема о площади фигуры с вершинами в узлах решётки и т.п.

То, что hripunov не доказал это, понятно: это очень сложно. Есть в дискретной геометрии задачки, которые просто формулируются, но до сих пор их не могут доказать. Я даже не смог формально доказать, что прямоугольник 1 x sqrt(2) нельзя сдвинуть с узлов решётки. Задачка оказалась скользкая, как Штирлиц. Есть задачка о плоте минимальной площади, который может миновать поворот на 90 градусов в канале ширины 1. Есть задачка об "универсальной покрышке" - фигуре минимальной площади, которой можно накрыть любую фигуру диаметра не более 1. А эту свою задачку я, похоже, придумал первый, т.к. раньше я её не видел.


IQFun.ru - играем и растём над собой. Авторские игры, головоломки, кроссворды онлайн, интересные статьи.


Сообщение отредактировал IQFun - Четверг, 13.10.2016, 11:06
 
никникДата: Четверг, 13.10.2016, 13:12 | Сообщение # 10
Гений
Сообщений: 1943
Награды: 285
Совы: 10
странно, все таки, что там прямоугольник в основании, а не трехугольник. нет?

Между своеобразной логикой и откровенной глупостью иногда очень тонкая грань.
 
Форум Эрудитов » Логические задачи и головоломки » Математические задачи » Сдвинуть фигуру с узлов решётки (sml[theme])
Страница 1 из 212»
Поиск:

Интересная информация
Обновленные задачи
Рейтинг сообщений Совиный рейтинг
1.Чудо-Юдо и три головы7
2.Добрый тролль4
3.Каково соотношение площад...0
4.Математическое равенство7
5.Еще одна задача на постро...0
6.Построим касательные.4
7.Любви Вам9
8.Как заморозить воду ?3
9.Четырехугольник0
10.Занимательная математика85
1.Lexx4728
2.Rostislav4638
3.nebo3393
4.Иван3061
5.Kreativshik2357
6.никник1943
7.Гретхен1802
8.erudite-man1289
9.Valet937
10.goliv772
1.Kreativshik112
2.nebo110
3.sovetnik49
4.IQFun28
5.Pro100_Artyom27
6.marutand20
7.хан20
8.MrCredo13
9.slltllnll12
10.Ленка11


О проектеГостевая книгаFAQНаписать админуКоллегиФорум ЭрудитовСоздать свой сайт