Получилась вот такая формулка:
x=(99-n)/(n+1)+n, х - min. Сейчас думаю, как её решить.

23

18 монет
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90

может у тебя ответ и правильный, но вот у тебя получается частный случай моей формулы. Если мы будем увеличивать количество чисел в начале строки, то мы будем потом брать соответственно каждое десятое, одиннадцатое, двенадцатое и т.д. число (а начиная с каждого третьего, если взять 1 и 2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Попробую посчитать для ещё пары чисел.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95. - тоже 18
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 - тоже 18
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 90, 99 - и тоже 18.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25, 38, 51, 64, 77, 90 - и опять 18.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 27, 41, 55, 69, 83, 97 - наконец-то хотя бы 19.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 29, 44, 59, 74, 89 - опять 19. Пойдём назад.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95 - хе-хе, 19.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97 - опять 19. Весело.

В общем, дальше считать мне лень, во всяком случае методом перебора получилось найти серединку (минимум - 18) и доказать, что при увеличении и уменьшении n это число увеличивается (то есть, не минимум). Как-то так коряво её наверное тоже можно решить... Вот если б помнить как минимумы решаются...